Question

（2008•陜西）某縣社會主義新農村建設辦公室，為了解決該縣甲，乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設管道到另外兩處．
如圖，甲，乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計），點M表示這所中學．點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的km處．
為使供水站鋪設到另兩處的管道長度之和最短，現有如下三種方案：
方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設到A處，請你在圖①中，畫出鋪設到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖②中，畫出鋪設到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值．
綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設的管道最短？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，供水站建在點M處，根據垂線段最短、兩點之間線段最短，可知鋪設到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值為MB+MD，求值即可；
（2）作點M關于射線OE的對稱點M'，則MM'=2ME，連接AM'交OE于點P，且證明P點與E點重合，即AM'過D點．求出AM'的值即是鋪設到點A和點M處的管道長度之和最小的值；
（3）作點M關于射線OF的對稱點M'，作M'N⊥OE于N點，交OF于點G，交AM于點H，連接GM，則GM=GM'，可證得N，D兩點重合，即M'N過D點．求GM+GD=M'D的值就是最小值．
解答：解：方案一：
由題意可得：MB⊥OB，
∴點M到甲村的最短距離為MB，（1分）
∵點M到乙村的最短距離為MD，
∴將供水站建在點M處時，管道沿MD，MB線路鋪設的長度之和最小，
即最小值為MB+MD=3+（km）；（3分）
方案二：如圖①，作點M關于射線OE的對稱點M'，則MM'=2ME，
連接AM'交OE于點P，PE∥AM，PE=AM，
∵AM=2BM=6，∴PE=3，（4分）
在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，
ME=DM=×，
∴PE=DE，∴P點與D點重合，即AM'過D點，（6分）
在線段CD上任取一點P'，連接P'A，P′M，P'M'，
則P'M=P′M'，
∵AP'+P'M'＞AM'，
∴把供水站建在乙村的D點處，管道沿DA，DM線路鋪設的長度之和最小，
即最小值為AD+DM=AM'=；（7分）
方案三：作點M關于射線OF的對稱點M'，作M'N⊥OE于N點，交OF于點G，交AM于點H，連接GM，則GM=GM'，
∴M'N為點M'到OE的最短距離，即M'N=GM+GN
在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，
∴MH=3，∴NE=MH=3，
∵DE=3，∴N，D兩點重合，即M'N過D點，
在Rt△M'DM中，DM=，∴M'D=（10分）
在線段AB上任取一點G'，過G'作G'N'⊥OE于N'點，
連接G'M'，G'M，
顯然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，
∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM，GD
線路鋪設的長度之和最小，即最小值為GM+GD=M'D=，（11分）
綜上，∵3+＜，
∴供水站建在M處，所需鋪設的管道長度最短．（12分）
點評：此題主要考查線路最短問題的作圖和求值問題，有一定的難度．