Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的兩個(gè)不相等實(shí)根中有一個(gè)是0．
（1）請(qǐng)求出m的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂之差的絕對(duì)值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的兩個(gè)不相等實(shí)根，
∴△=4（m+1）²-4（m²-2m-3）＞0，
∴m＞-1，
把x=0代入方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0得m²-2m-3=0，
∵（m-3）（m+1）=0，
∴m₁=3，m₂=-1，
而m＞-1，
∴m的值為3；
（2）存在．
把m=3代入方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0得
x²-（k-3）x-k+4=0，
∴x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4，
∵|x₁-x₂︳=1，
∴（x₁-x₂）²=1，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂-1=0
（k-3）²-4（-k+4）-1=0，
整理得k²-2k-8=0，
k₁=4，k₂=-2，
當(dāng)k=4和-2時(shí)方程x²-（k-3）x-k+4=0都有兩個(gè)實(shí)數(shù)，
∴存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂之差的絕對(duì)值為1．