Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，OA=OB=2，BP⊥AB
（1）求直線BP的函數(shù)解析式；
（2）在BP上截取BC=BA，過A作任意直線AM使CD⊥AM于D，求∠ADB的度數(shù)．
（3）在（2）的條件下，延長DB到N，且NA⊥AD，SN⊥NA，交AB的延長線于S，連SC，則SC-CD的值是否變化？若不變，求其值；若變化，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線BP的函數(shù)解析式為y=kx+b，直線BC交y軸于點E，如圖1．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠OAB=45°，B（2，0），
∵BP⊥AB，
∴∠ABE=∠ABC=90°，∠OBE=45°．
在△AOB與△EOB中，
，
∴△AOB≌△EOB（ASA），
∴OA=OE=2，
∴E點坐標(biāo)為（0，-2）．
將B（2，0），E（0，-2）代入y=kx+b，
得，解得．
∴直線BP的函數(shù)解析式為y=x-2；

（2）過B作BG⊥AD于G，BF⊥DC交DC的延長線于F，則∠BGD=∠BFD=90°．如圖2．
∵四邊形GBFD的內(nèi)角和為360°，∠GDF=∠BGD=∠BFD=90°，
∴∠GBF=90°，
∴∠ABC=∠GBF=90°，
∴∠ABG=∠CBF=90°-∠GBC．
在△ABG與△CBF中，
，
∴△ABG≌△CBF（AAS），
∴BG=BF，
∵BG⊥AD于G，BF⊥DC于F，
∴DB平分∠ADC，
又∵∠ADC=90°，
∴∠ADB=45°；

（3）SC-CD的值不變，理由如下：
延長SN交y軸T，如圖2．
∵∠ADB=45°，∠DAN=90°，
∴∠AND=∠ADB=45°，
∴AD=AN．
∵∠OAC=∠OAB+∠BAC=45°+45°=90°=∠NAD，
∴∠TAN=∠CAD=90°-∠NAC．
在△ADC與△ANT中，
，
∴△ADC≌△ANT（ASA），
∴AC=AT，CD=TN．
在△AST與△ASC中，
，
∴△AST≌△ASC（SAS），
∴ST=SC，
∴SC-CD=ST-TN=SN．
∵SN為定值，
∴SC-CD的值不變．
分析：（1）設(shè)直線BP的函數(shù)解析式為y=kx+b，直線BC交y軸于點E，先由ASA證明△AOB≌△EOB，得出OA=OE=2，求出E點坐標(biāo)，再將B、E兩點的坐標(biāo)代入y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出；
（2）過B作BG⊥AD于G，BF⊥DC交DC的延長線于F，先由AAS證明△ABG≌△CBF（AAS），得出BG=BF，再根據(jù)角平分線的判定定理得出DB平分∠ADC，進(jìn)而求出∠ADB=45°；
（3）延長SN交y軸T，先由ASA證明△ADC≌△ANT，得出AC=AT，CD=TN，再利用SAS證明△AST≌△ASC，得出ST=SC，則SC-CD=SN，由SN為定值，得出SC-CD的值不變．
點評：本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，四邊形內(nèi)角和定理等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．