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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與C重合,再展開,折痕EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長;
(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2=AC•AP?若存在,請說明點P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)因為是對折所以AO=CO,利用三角形全等證明EO=FO,四邊形便是菱形;
(2)因為面積是24,也就是AB、BF的積可以求出,所以求周長只要求出AB、BF的和就可以,而結合勾股定理它們和的平方減去乘積二倍就是AF的平方;
(3)因為AC=AO所以可以從與△AOE相似的角度考慮,即過E作EP⊥AD.
解答:(1)證明:連接EF交AC于O,
當頂點A與C重合時,折痕EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°(1分)
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF(2分)
∴四邊形AFCE是菱形.(3分)

(2)解:四邊形AFCE是菱形,∴AF=AE=10.
設AB=x,BF=y,∵∠B=90,
∴(x+y)2-2xy=100①
又∵S△ABF=24,∴xy=24,則xy=48.②(5分)
由①、②得:(x+y)2=196(6分)
∴x+y=14,x+y=-14(不合題意舍去)
∴△ABF的周長為x+y+AF=14+10=24.(7分)

(3)解:過E作EP⊥AD交AC于P,則P就是所求的點.(9分)
證明:由作法,∠AEP=90°,
由(1)得:∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP,
∴△AOE∽△AEP(AA),
=,則AE2=AO•AP(10分)
∵四邊形AFCE是菱形,∴AO=AC,AE2=AC•AP(11分)
∴2AE2=AC•AP(12分)
即P的位置是:過E作EP⊥AD交AC于P.
點評:本題主要考查(1)菱形的判定方法“對角線互相垂直且平分的四邊形”,(2)相似三角形的判定和性質.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與C重合,再展開,折精英家教網痕EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF、CE和EF,設EF與AC的交點為O.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=2
13
cm
,△ABF的為面積12cm2,求△ABF的周長.

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(2013•樂清市模擬)已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連接AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長.

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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=5cm,△CDE的周長為12cm,求矩形ABCD的面積.

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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結AF和CE.求證:四邊形AFCE是菱形.

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已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),O是對角線AC的中點,過點O的直線EF⊥AC交AD邊于E,交BC邊于F.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長.

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