Question

兩個反比例函數(shù)和（k₁＞k₂＞0）在第一象限內的圖象如圖所示，動點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B．
（1）求證：四邊形PAOB的面積是定值；
（2）當時，求的值；
（3）若點P的坐標為（5，2），△OAB、△ABP的面積分別記為S_△OAB′S_△ABP．設S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②當k₂為何值時，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

（1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC與△BOD的面積分別為S₁，S₂，矩形PCOD的面積為S₃，
由題意，得，，，
∴，，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四邊形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四邊形PAOB的面積是定值；

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，則OD•BD=OC•AC
又∵
∴
∵DP=OC，OD=PC
∴
∴；

（3）解：①由題意知：k₁=x_Py_P=10；
②A、B兩點坐標分別為，
∴
∴
∴
∴當k₂=5時，s有最大值．
分析：（1）讓矩形OCPD的面積減去周圍幾個直角三角形的面積，其中面積應整理為和函數(shù)上的點的坐標有關的式子；
（2）利用（1）中兩個三角形的面積相等，得到相關線段的比值；
（3）把P坐標代入所在的反比例函數(shù)即可求得比例系數(shù)的值；所求面積為（1）中所求的面積減去2個△ABP的面積，整理為二次函數(shù)的一般形式，求出最值．
點評：求坐標系內圖形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．在做題過程中應注意所列的式子都應與反比例函數(shù)上的點的坐標有關．