Question

已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B＝∠CAE，F(xiàn)E∶FD＝4∶3．

(1)求證：AF＝DF；

(2)求∠AED的余弦值；

(3)如果BD＝10，求△ABC的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)證明：∵AD平分∠BAC 　　∴∠BAD＝∠DAC 　　∵∠D＝∠CAE 　　∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE 　　∵∠ADE＝∠BAD＋∠B 　　∴∠ADE＝∠DAC＋∠CAE 　　即∠ADE＝∠DAE 　　∴EA＝ED 　　∵DE是半圓C的直徑 　　∴∠DFE＝ 　　∴AF＝DF 　　(2)解：連結(jié)DM 　　∴DE是半圓C的直徑 　　∴∠DME＝ 　　∵FE∶FD＝4∶3 　　∴可設(shè)FE＝4x，則FD＝3x，由勾股定理，得DE＝ 　�。�＝＝＝5x 　　∴AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x 　　由切割線定理的推論，得AF·AD＝AM·AE 　　∴3x(3x＋3x)＝AM·5x 　　3x·6x＝AM·5x 　　18x2＝AM·5x 　　∴AM＝x 　　∴ME＝AE－AM＝5x－x＝x 　　在Rt△DME中 　　cos∠AED＝＝＝ 　　(3)解：過A點作AN⊥BE于N 　　由cos∠AED＝ 　　得sin∠AED＝＝＝ 　　在Rt△AME中 　　∵sin∠AED＝ 　　∴AN＝sin∠AED·AE＝·5x＝x 　　在△CAE與△ABE中 　　∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA 　　∴△CAE∽△ABE 　　∴＝ 　　∴AE2＝BE·CE 　　∴(5x)2＝(10＋5x)·x 　　25x2＝25x＋x2 　　50x2＝50x＋25x2 　　25x2＝50x 　　解得x＝2 　　∴AN＝x＝×2＝ 　　BC＝BD＋DC＝10＋x＝10＋·2＝10＋5＝15 　　∴S△ABC＝BC·AN＝×15×＝72 　　解法二： 　　(1)證明：同解法(1) 　　(2)解：過A點作AN⊥BE于N 　　在Rt△DFE中， 　　∵FE∶FD＝4∶3 　　∴可設(shè)FE＝4x，則FD＝3x 　　由勾股定理，得DE＝＝＝＝＝5x 　　∴AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x 　　∵S△ADE＝AD·EF＝DE·AN 　　∴AD·EF＝DE·AN 　　∴(3x＋3x)·4x＝5x·AN 　　6x·4x＝5x·AN 　　24x2＝5x·AN 　　∴AN＝x 　　∴由勾股定理得 　　EN＝＝＝＝＝x 　　∴cos∠AED＝＝＝ 　　(3)解：在△CAE和△ABE中 　　∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA 　　∴△CAE∽△ABE 　　∴＝ 　　∴AE2＝BE·CE 　　∴(5x)2＝(10＋5x)·x 　　25x2＝25x＋x2 　　50x2＝50x＋25x2 　　25x2＝50x 　　解得x＝2 　　∴AN＝x＝ 　　BC＝BD＋DC＝10＋x＝10＋·2 　�。�10＋5＝15 　　∴S△ABC＝BC·AN＝×15×＝72

提示：

由已知條件“AD為∠BAC的平分線”及“∠B＝∠CAE”，易證出∠ADE＝∠DAE，從而得出EA＝ED，再由“DE是半圓C的半徑”得知∠DFE＝．根據(jù)等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合，得出AF＝DF．第(2)小問求∠AED的余弦值．因“FE∶FD＝4∶3”，即可根據(jù)勾股定理求出DE，再由切割線定理的推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等，求出AM，進(jìn)而求出∠AED的余弦值．第(3)小問條件又強(qiáng)化了，BD＝10．根據(jù)一個角的正余弦值的平方和為1，由∠AED的余弦值，求出∠AED的正弦值，再由相似三角形的判定得出△CAE∽△ABE．根據(jù)相似三角形邊對應(yīng)相等的法則求出AE，進(jìn)而求得AN、DC，計算出△ABC的面積．該題的三個小問題緊密相連，其中前一個小問題的結(jié)論又變成了后一個小問題的條件，要順利完整地解答此題，必須對三角形、圓的概念及性質(zhì)有一個清晰的認(rèn)識．