Question

如圖，在直角坐標系中，A點的坐標為（0，a），B點的坐標為（b，0），且a、b滿足

a+b-4

+|a-2b+2|=0．

（1）求證：∠OAB=∠OBA；
（2）點C為OB的延長線上一點，連接AC，過B作BD⊥AC，連接OD．求證：OD平分∠ADB；
（3）點E，是點A關(guān)于x軸的對稱點，點F是點B關(guān)于y軸的對稱點，P為AF的延長線上一動點，G為BA的延長線上一點，連接PG，且滿足BG=PG+PF，當P在AF的延長線上運動的過程中，∠PEG的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的度數(shù)；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件

a+b-4

+|a-2b+2|=0．可以求出a、b的值，求出OA、OB的長度就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)四點共圓的性質(zhì)可以得出相等的弦所對的圓周角相等而得出結(jié)論∠ADO=∠BDO而得出結(jié)論；
（3）如圖，通過作輔助線連接EF和BE，在BG上截BM=PF，連接ME，利用中垂線的性質(zhì)可以得出四邊形AFBE是正方形，證明△PFE≌△MBE和△PGE≌△MGE，最后利用相等的角的代換而得出∠PEG的值．

解答：（1）證明：∵a、b滿足

a+b-4

+|a-2b+2|=0，
∴a+b=4，
a-2b=-2，
∴a=2，b=2，
∴A點的坐標為（0，2），B點的坐標為（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA；

（2）證明：∵∠AOB=90°∠ADB=90°
∴A、O、B、D四點在同一個圓上，
∵OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠ADO=∠OBA=45°，
∴∠BDO=∠OAB=45°，
∴∠BDO=∠ADO
∴OD平分角ADB；

（3）解：∠PEG=45°不變．
連接EF和BE，在BG上截BM=PF，連接ME，
∵點E，是點A關(guān)于x軸的對稱點，點F是點B關(guān)于y軸的對稱點，
∴EF=BE，四邊形AFBE是正方形，
∴△PFE≌△MBE，
∴∠MEB=∠PEF，
∵GB∥EF，
∴∠FEG=∠AGE．
∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=∠MEB+∠MGE，
∵△PGE≌△MGE，
∴∠PEG=∠GEM，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE，
∵∠GEM+∠MEB+∠MGE=90°，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE=45°，
∴∠PEG=45°

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，此題考查了非負數(shù)和為0的運用，圓的性質(zhì)的運用，全等三角形的運用，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)．