Question

已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求A、B的坐標；
（2）過點D作DH丄y軸于點H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式；
（3）在第（2）小題的條件下，直線CD與x軸交于點E，過線段OB的中點N作NF丄x軸，并交直線CD于點F，則直線NF上是否存在點M，使得點M到直線CD的距離等于點M到原點O的距離？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A的坐標（-1，0），點B的坐標（3，0）；

（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，
∴C（0，-3a），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，
∴-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點的坐標代入得，，
解得，
∴直線CD的解析式為y=x+3；

（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），
∵點B的坐標（3，0），N是線段OB的中點，
∴N（，0）
∴F（，），EN=，
作MQ⊥CD于Q，
設存在滿足條件的點M（，m），則FM=-m，
EF==，MQ=OM=
由題意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，
∴=，
即=，
∴2（+m²）=（-m）²，
整理得4m²+36m-63=0，
∴m²+9m=，
m²+9m+=+
（m+）²=
m+=±
∴m₁=，m₂=-，
∴點M的坐標為M₁（，），M₂（，-）．
分析：（1）令y=0求得x的值，從而得出點A、B的坐標；
（2）令x=0，則y=-3a，求得點C、D的坐標，設直線CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點的坐標代入，求出直線CD的解析式；
（3）設存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽Rt△FNE，得=，及可得出關于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出點M的坐標．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有一元二次方程的解法．在求有關存在不存在問題時要注意先假設存在，再討論結果．