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23、已知:如圖,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交AB于G,交CA延長線于E,∠1=∠2.
求證:AD平分∠BAC,填寫分析和證明中的空白.
分析:要證明AD平分∠BAC,只要證明
∠BAD
=
∠CAD
,
而已知∠1=∠2,所以應聯(lián)想這兩個角分別和∠1、∠2的關系,由已知BC的兩條垂線可推出
EF
AD
,這時再觀察這兩對角的關系已不難得到結論.
證明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
EF
AD
在同一平面內,垂直與同一直線的兩直線平行

∠1
=
∠BAD
(兩直線平行,內錯角相等),
∠2
=
∠CAD
(兩直線平行,同位角相等)
∠1=∠2
(已知)
∠BAD=∠CAD
,即AD平分∠BAC(
角平分線的定義
分析:要證明AD平分∠BAC,只要證明∠BAD=∠CAD,而已知∠1=∠2,所以應聯(lián)想這兩個角分別和∠1、∠2的關系,由已知BC的兩條垂線可推出EF∥AD,這時再觀察這兩對角的關系已不難得到結論.
解答:證明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴EF∥AD(在同一平面內,垂直與同一直線的兩直線平行)
∴∠1=∠BAD(兩直線平行,內錯角相等)
∠2=∠CAD(兩直線平行,同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠BAD=∠CAD,
即AD平分∠BAC(角平分線的定義).
點評:此題考查了角平分線的定義,平行線的性質及判定.
練習冊系列答案
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根據題意填空:
已知,如圖,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,求證:AB∥CD.
證明:∵AD∥BC(已知)
∴∠1=
∠2(兩直線平行,內錯角相等),
∠2(兩直線平行,內錯角相等),

又∵∠BAD=∠BCD ( 已知 )
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2
(等式的性質)
(等式的性質)

即:∠3=∠4
AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行)
AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行)

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