Question

22、已知△ABC與△ADE是等邊三角形，點B、A、D在一條直線上，∠CPN=60°交直線AE與點N；
（1）若點P在線段AB上運動、（不與A、B重合）猜想線段PC、PN的數量關系并證明；
（2）若點P在線段AD上運動、（不與A、D重合），畫出圖形，猜想線段PC、PN的數量關系；
（3）總結：若點P在直線AB上運動、（不與A、B、D重合），線段PC、PN的數量關系會保持不變嗎？

Answer 1

分析：（1）在AC上截取AF=AP，可得△PCF≌△PNA，所以PC=PN；
（2）△PCN為直角三角形，∠CPN=60°，可得PC=2PN；
（3）無論點P在AB上如何移動，都存在△PCF≌△PNA，所以他們的數量關系不變．

解答：解：（1）如圖，在AC上截取AF=AP，
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF為等邊三角形，
∴PF=AP，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，又∠PAN=∠PFC=120°
∴△PCF≌△PNA，
∴PC=PN；

（2）當P在AD上時，∠CPN的一邊PN交AE的延長線于N，此時也有PC=PN
過P作AC的平行線交BC的延長線于F，
∴∠F=∠BCA=60°，∠APF=∠BAC=60°，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠F=∠PAN=60°，∠FCP=∠APN=60°+∠APC，
∴△PCF≌△PNA，
∴PC=PN；

（3）線段PC、PN的數量關系保持不變；
無論點P在AB上哪個點，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的數量關系不變．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；熟練掌握等邊三角形的性質及全等三角形的性質，能夠利用全等三角形求解線段之間的關系，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．