Question

用網(wǎng)格線將平面分成若干個(gè)面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x．

（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表，請寫出S與x之間的關(guān)系式．

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	3	4	5	6	…
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x	3	4	5	6	…

答：S=

x

．
（2）請你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)．此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式是：S=

x+2

．
（3）請你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想S與x有怎樣的關(guān)系？答：S=

2n+x-2

．

Answer 1

分析：（1）多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)半，即S=x；
（2）內(nèi)部有2個(gè)格點(diǎn)就是指圖形的中間有2個(gè)小正三角形的頂點(diǎn)，由此畫圖；并根據(jù)圖找出S與x的關(guān)系．
（3）由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí)，面積為：S=x+（2n-2）．

解答：解：（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請你填寫下表．

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	3	4	5	6	…
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x	3	4	5	6	…

答根據(jù)以上信息，多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即S=x；

（2）根據(jù)圖可知：

正方形的面積是8，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是6，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
8=6+2；
三角形的面積是5，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是3，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
5=3+2；
五邊形的面積是7，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是5，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
7=5+2；
那么S=x+2；

（3）通過上題探究可知：
最后的1就是內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)2n-2而得；
所以格點(diǎn)多邊形面積=各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和×+（多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)的2被-2）；即：
S=x+（2n-2）；

點(diǎn)評：考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算．