Question

設(shè)m為整數(shù)，且關(guān)于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整數(shù)根，則m的值為     ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況進(jìn)行討論：①一元一次方程時(shí)，m=0，方程無(wú)整數(shù)解；②一元二次方程時(shí)，△≥0，且根為整數(shù)，求出m的值即可．
解答：解：∵關(guān)于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整數(shù)根，
∴△=4（m-5）²-4m（m-4）≥0，
∴m≤，
∵-與為整數(shù)，
∴m=±1，±2．
（1）若m=0，方程為-10x-4=0，x=根不是整數(shù)；
（2）m≠0時(shí)，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5）²-4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0，
∴m≤，
方程的根為x==
∵方程有整根，
∴25-6m一定是個(gè)平方數(shù)，而且滿足m≤，
∴設(shè)25-6m=k²（k＞0且k為整數(shù)），則m==
∴方程根為-1±=-1，
將m=代入得，-1，
∴方程兩個(gè)根可以寫成x₁=-1，x₂=-1，
若x₁是整數(shù)，
∴只有當(dāng)k=2，3，4，6，7，8，11時(shí)，
為整數(shù)．其對(duì)應(yīng)的m分別為，，，-4，，-16，
若x₂是整數(shù)，則只有當(dāng)k=1時(shí)，為整數(shù)，
對(duì)應(yīng)的m=4．其中m是整數(shù)的只有m=-4，4，-16．
∴m的值為-4，4，-16．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的特殊解，此題難度較大．