Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)E是弧CB的中點(diǎn)，EF⊥AC于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）連接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求的值．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接OE．
∵點(diǎn)E是弧CB的中點(diǎn)，
∴∠CAE=∠EAO=∠OEA，
∴OE∥AC．
又∵EF⊥AC于F，
∴OE⊥EF．
又∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是圓點(diǎn)O的切線；

（2）如圖2，連接BE．則BE=CE=6，∠AEB=90°，
又∵AE=8，
∴AB=10．
方法一：∵△FAE∽△EAB，
∴AE²=AF•AB，
∴AF=6.4；
作OM⊥AF于M，則四邊形MOEF是正方形，
∴AM=AF-OE=1.4，
∴AC=2AM=2.8，
∴===．

方法二：如圖1，連接BC交OE于H，則BC∥EF，
OE⊥BC，則5²-OH²=6²-（5-OH）²=BH²，
∴OH=1.4，
∴===．
分析：（1）連接OE．欲證EF是⊙O的切線，只需證明EF⊥OE即可；
（2）如圖2，連接BE．在直角△AEB中根據(jù)勾股定理求得AB=10．
方法一：由相似三角形（△FAE∽△EAB）對(duì)應(yīng)邊成比例求得AF=6.4；然后作OM⊥AF于M構(gòu)造正方形MOEF，可以利用正方形的性質(zhì)和圖形中相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系來求的值；
方法二：如圖1，連接BC交OE于H，構(gòu)造矩形FCHE．由矩形的性質(zhì)、勾股定理以及圖形中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系來求的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．