【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,CD平分∠ACB交⊙O于點D

1ADBD相等嗎?為什么?

2)若AB=10AC=6,求CD的長;

3)若P為⊙O上異于A、B、C、D的點,試探究PA、PDPB之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1AD=BD,理由見解析;

2CD=;

3①當(dāng)點P上時, PA+PB=PD;②當(dāng)點P上時, PAPB=PD③當(dāng)點P上時, PBPA=PD

【解析】試題分析:1)結(jié)論:AD=BD.只要證明即可.

2)如圖2中,作DFCA,垂足FCA的延長線上,作DGCB于點G,連接DADB.由RtAFDRtBGDHL),推出AF=BG,由RtCDFRtCDGHL),推出CF=CG,由CDF是等腰直角三角形,得CD=CF,求出CF即可解決問題.

3)分三種情形討論①如圖3中,當(dāng)點P上時,結(jié)論:PA+PB=PD②如圖4中,當(dāng)點P上時,結(jié)論:PA-PB=PD;③如圖5中,當(dāng)點P上時,結(jié)論:PB-PA=PD

試題解析:(1)結(jié)論:AD=BD

理由:如圖1中,

CD平分∠ACB,

∴∠ACD=BCD

DF=DG

,

DA=DB

2)如圖2中,作DFCA,垂足FCA的延長線上,作DGCB于點G,連接DA,DB

∵∠AFD=BGD=90°

RtADFRtBDG, ,

RtAFDRtBGDHL),

AF=BG

同理:RtCDFRtCDGHL),

CF=CG

AB是直徑,

∴∠ACB=90°

AC=6,AB=10

BC==8,

6+AF=8﹣AF

AF=1,

CF=7,

CD平分∠ACB

∴∠ACD=45°,

∵△CDF是等腰直角三角形,

CD=,CF=7

3①如圖3中,當(dāng)點P上時,結(jié)論:PA+PB=PD

理由:將PDB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到FAD,

∵∠PAB+PBD=180°,FAD=PBD,

∴∠FAD+PAD=180°,

P、AF共線,

∵∠F=DPB=BAD=45°,

∴△PDF是等腰直角三角形,

PF=PD,

PB=AF,

PF=PA+AF=PA+PB=PD.,

PA+PB=PD

②如圖4中,當(dāng)點P上時,結(jié)論:PAPB=PD

理由:在AP上取一點F,使得AF=PB,

FADPBD中,

∴△FAD≌△PBD,

DF=DPADF=BDP,

FDP=ADB=90°,

∴△FDP是等腰直角三角形,

PF=PD

PAPB=PAAF=PF=PD,

PAPB=PD

③如圖5中,當(dāng)點P上時,結(jié)論:PBPA=PD.(證明方法類似②).

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(2)如圖③,若四邊形ABCD為矩形,BC=mAB,其他條件都不變,將△EBF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△E′BF′,連接AE′,DF′,請在圖③中畫出草圖,并求出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系.

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