Question

在平面直角坐標系x0y中，已知二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若S_△EAP=3S_△EMN，求點P的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應(yīng)點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是否存在這樣一條直線，使得△FMN的內(nèi)心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的對稱軸為直線x=1，
又∵AB=4，
∴點A到y(tǒng)軸的距離為×4-1=1，
∴點A的坐標是（-1，0），
∵tan∠ABE=2，
∴×4×tan∠ABE=2×2=4，
∴點E的縱坐標為4，
∴頂點E的坐標為（1，4），
∴k=4，
∵點A（-1，0）在二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的圖象上，
∴a（-1-1）²+4=0，
解得a=-1，
故二次函數(shù)的表達式為y=-（x-1）²+4；

（2）如圖1，∵A（-1，0），E（1，4），
∴點M是AE的中點，且M（0，2），
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得，S_△AMN=S_△EMN，
又∵S_△EAP=3S_△EMN，
∴S_△AMN=S_△APN，
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點P的縱坐標為-2，
∴-（x-1）²+4=-2，
解得x₁=1+，x₂=1-（舍去），
故點P的坐標是（1+，-2）；

（3）存在．
理由如下：如圖2，令x=0，-（0-1）²+4=3，
所以，點C的坐標為（0，3），
根據(jù)翻折的性質(zhì)，拋物線y=-（x-1）²+4沿y軸翻折得到的新拋物線為y=-（x+1）²+4，
∵A點的對應(yīng)點為點F，
∴點F的坐標為（1，0），
又∵E（1，4），
∴EF⊥x軸，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+3，
聯(lián)立，
解得（為點C，舍去），，
∴點N坐標為（2-k，-k²+2k+3），
聯(lián)立，
解得（為點C，舍去），，
∴點M的坐標為（-2-k，-k²-2k+3），
過點M作MG⊥x軸于G，過點N作NH⊥x軸于H，
∵△FMN的內(nèi)心在直線EF上，
∴EF是∠MFN的平分線，
∴∠MFG=∠NFH，
又∵∠MGF=∠NHF=90°，
∴△MGF∽△NHF，
∴=，
即=，
整理得，k²-2k-3=-（k²-2k+1），
即k²-2k-1=0，
解得k₁=1+，k₂=1-，
∵點M（-2-k，-k²-2k+3）在y軸的右側(cè)，點N（2-k，-k²+2k+3）在對稱軸直線x=1的右邊，
∴，
解得-2＜k＜1，
∴k=1-，
故直線EF的解析式為y=（1-）x+3．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式確定出對稱軸為直線x=1，再根據(jù)AB的長度確定出點A的坐標，再根據(jù)tan∠ABE=2求出頂點E的縱坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)點A、E的坐標確定出點M是AE的中點，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點P的縱坐標為-2，然后代入拋物線解析式求出橫坐標的長度，從而得解；
（3）求出點C的坐標（0，3），再根據(jù)對稱性求出新拋物線的解析式，然后設(shè)直線l的解析式為y=kx+3，再與兩拋物線上解析式聯(lián)立求解得到點M、N的坐標，過點M作MG⊥x軸于G，過點N作NH⊥x軸于H，再根據(jù)點F的坐標判斷出EF⊥x軸，然后根據(jù)△FMN的內(nèi)心在直線EF上，則EF是∠MFN的平分線，從而得到∠MFG=∠NFH，再根據(jù)△MGF和△NHF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求出k值，從而得解．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等底等高的三角形的面積相等，二次函數(shù)的對稱性，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)心是角平分線的交點，綜合性較強，難度較大，（3）用k表示出點M、N的坐標，從而得到兩相似三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．