Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠D=∠C=30°．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）分別過B、F兩點作DC的垂線，垂足分別為M、N，且CN：CM=2：3若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，△ABC的面積為12cm²，cos∠EFC=

2

3

，求△BFE的面積．

Answer 1

分析：（1）由根據(jù)等腰三角形OBC和三角形內(nèi)角和定理求得∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，即可得到結(jié)論；
（2）由BM⊥AC，F(xiàn)N⊥AC，可得S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，F(xiàn)N∥BM，則△CFN∽△CBN，得到FN：BM=CN：CM，而CN：CM=2：3，△ABC的面積為12cm²，于是有S_△FAC：12=FN：BM=2：3，可計算出S_△FAC=8，由∠E=∠C，∠FBE=∠CAF可得△FBE∽△FAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

S△FBE

S△FAC

=(

FB

FA

)2；由AC為⊙O的直徑得到∠ABF=90°，而cos∠BFA=cos∠EFC=

2

3

，在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=

FB

FA

=

2

3

，利用

S△FBE

S△FAC

=(

FB

FA

)2即可計算出△BFE的面積．

解答：（1）證明：如圖，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
而∠DBC=180°-∠D-∠C=180°-30°-30°=120°，
∴∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵BM⊥AC，F(xiàn)N⊥AC，
∴S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，F(xiàn)N∥BM，
∴△CFN∽△CBN，
∴FN：BM=CN：CM，
而CN：CM=2：3，△ABC的面積為12cm²，
∴S_△FAC：12=FN：BM=2：3，
∴S_△FAC=8，
∵∠E=∠C，∠FBE=∠CAF，
∴△FBE∽△FAC，
∴

S△FBE

S△FAC

=（

FB

FA

）²，
又∵cos∠EFC=

2

3

，而AC是⊙O的直徑，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=

FB

FA

=

2

3

∴

S△FBE

S△FAC

=（

FB

FA

）²=（

2

3

）²=

4

9

，
∴S_△BFE=8×

4

9

=

32

9

．

點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；運用相似三角形的判定與性質(zhì)得到線段和三角形面積的比例關系；同底等高的三角形的面積相等．