Question

如圖，雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)是8．
（1）求k的值；
（2）過點A作AC∥x軸交于點C，P是直線AC上的動點，過P作PD∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點D，若四邊形PDOA的面積為20，求點P的坐標(biāo)；
（3）若M、N是雙曲線y=

k

x

上的點，且它們的橫坐標(biāo)分別是a，2a（a＞0），求△MON的面積．

Answer 1

分析：（1）將A的橫坐標(biāo)代入直線解析式中求出y的值，確定出A的縱坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值即可；
（2）設(shè)P（8，y），根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，分情況討論：當(dāng)y大于2時，P在A的右側(cè)，四邊形PDOA的面積=矩形PDOC的面積-三角形AOC的面積，由已知PDOA的面積列出方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，確定出P的坐標(biāo)；當(dāng)y大于等于0，小于等于2時，不合題意，舍去；當(dāng)y小于0時，四邊形PDOA的面積=矩形PDOC的面積+三角形AOC的面積，由已知PDOA的面積列出方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，確定出P的坐標(biāo)即可；
（3）過M、N作x軸的垂線，垂足分別為E、F，連接OM，ON，MN，如圖所示，由M與N的橫坐標(biāo)，根據(jù)反比例解析式確定出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，進而表示出M與N的坐標(biāo)，三角形MON的面積=直角三角形OME的面積+梯形MEFN的面積-直角三角形ONF的面積，求出即可．

解答：解：（1）將x=8代入直線解析式得：y=

1

4

×8=2，
∴A（8，2），
則將A坐標(biāo)代入反比例解析式得：2=

k

8

，即k=16；
（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（8，y），

當(dāng)y＞2時，P在A的右側(cè)，如圖所示，
此時S_{四邊形PDOA}=S_矩形PDOC-S_△AOC=8y-2×

1

2

k=8y-16=20，
解得：y=

9

2

；
當(dāng)0≤y≤2時，不合題意，舍去；
當(dāng)y＜0時，S_{四邊形PDOA}=S_矩形PDOC+S_△AOC=8（-y）+2×

1

2

k=-8y+16=20，
解得：y=-

1

2

，
綜上，P坐標(biāo)為（8，

9

2

）或（8，-

1

2

）；
（3）由題意得：M（a，

16

a

），N（2a，

8

a

），
過M、N作x軸的垂線，垂足分別為E、F，連接OM，ON，MN，如圖所示，

則S_△MON=S_△OME+S_梯形MEFN-S_△ONF=

1

2

×16+

1

2

×a（

16

a

+

8

a

）-

1

2

×16=12．

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法．