Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P。已知BC ：CA＝4 : 3，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O。

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D。

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB =90°

∴AB =5，AC:CA = 4:3，

∴BC =4， AC =3

又∵AC?BC =AB?CD

∴  

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，

∠ACB ＝∠PCQ=90°， ∠CAB ＝∠CPQ，

Rt△ACB ∽ Rt△PCQ

∴

 （2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E（如圖）.

∵P是弧AB的中點(diǎn)，

∴

又∠CPB=∠CAB

∴∠CPB= tan∠CAB=

∴而從

 由（1）得，

（3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有

故PC最大時(shí)，CQ取到最大值。

當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ 最大值為