Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點C和動點P。已知BC ：CA＝4 : 3，點P在上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點O。

（1）當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；

（2）當(dāng)點P運動到的中點時，求CQ的長；

（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長。

Answer 1

解：（1）當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時，CP⊥AB，設(shè)垂足為D。

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB =90°

∴AB =5，AC:CA = 4:3，

∴BC =4， AC =3

又∵AC?BC =AB?CD

∴  

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，

∠ACB ＝∠PCQ=90°， ∠CAB ＝∠CPQ，

Rt△ACB ∽ Rt△PCQ

∴

 （2）當(dāng)點P運動到弧AB的中點時，過點B作BE⊥PC于點E（如圖）.

∵P是弧AB的中點，

∴

又∠CPB=∠CAB

∴∠CPB= tan∠CAB=

∴而從

 由（1）得，

（3）點P在弧AB上運動時，恒有

故PC最大時，CQ取到最大值。

當(dāng)PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ 最大值為