Question

已知△ABC中，AB=AC=6，cosB=，點(diǎn)O在邊AB上，圓O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB、BC交于點(diǎn)D、E，⊙O與邊AC不相交，又EF⊥AC，垂足為F，設(shè)OB=x，CF=y．
（1）求證：直線EF是圓O的切線；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)直線DF與圓O相切時(shí)，求OB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接OE，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，作AH⊥BC，H為垂足，并連接OE，
∵AB=AC，
∴BH=BC，
∵AB=6，cosB=，
∴BH=2，
∴BC=4．
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴=．
即 =．
∴BE=x．
∴EC=4-x．
在Rt△ECF中，cosC=cosB=，
∴CF=EC•cosC=（4-x）•．
∴所求函數(shù)的關(guān)系式為y=-x．
如圖3，當(dāng)⊙0與AC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，
連接OE，OG，
∵EF是切線，
∴OE⊥EF，OG⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴四邊形OEFG是矩形，
∵OE=OG，
∴四邊形OEFG是正方形，
即EF=OE=x，
∵cosC=，
∴sinC=，
∵在Rt△CEF中，sinC==，
即，
解得：x=，
∴這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?＜x＜；

（3）解：如圖4，連接OE，DE，OF，
∵EF、DF與⊙O相切，
∴FD=FE，∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．
∵BD是直徑，
∴∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四邊形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，
得：-x=x，
解得：x=．
即OB=．
分析：（1）首先連接OE，由AB=AC=6，易證得OE∥AC，又由EF⊥AC，即可證得直線EF是圓O的切線；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，可以證明△BOE∽△BAC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可用x表示出BE的長(zhǎng)，又由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，當(dāng)圓與AC相切時(shí)可得OB的長(zhǎng)，據(jù)此即可得到x的取值范圍；
（3）首先連接OE，OF，DE，由EF、DF與⊙O相切，易證四邊形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．