Question

如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，
（1）求證：AB=AC+CD．
（2）如果BD=4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得PD=CD，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得△BDP是等腰直角三角形，繼而求得答案；
（2）首先在等腰直角三角形BDP中，求得PD的長(zhǎng)，繼而可求得AC=BC=BD+CD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，
∵在△ABC中，∠C=90°，
即CD⊥AC，
∵AD是角平分線(xiàn)，
∴CD=PD，∠ADP=∠ADC，
∴AP=AC，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴DP=PB，
∴AC+CD=AB；

（2）解：∵BD=4，∠BPD=90°，∠B=45°，
∴DP=BP=BD•cos45°=2

2

，
∴AC=BC=BD+CD=BD+PD=4+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．