Question

已知直線y=-

1

2

x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一個動點P由原點O向點A運動（與點A不重合），速度為每秒1個單位，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，以點C為頂點的拋物線y=-4（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D，與x軸交于點E（點E在拋物線對稱軸的右側(cè)）．設(shè)點P運動時間為t秒．
（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求t=1時拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時，以C，P，E為頂點的三角形與AOB相似？
（3）①求CD的長；
     ②設(shè)△COD的OC邊長的高為h，當(dāng)t為何值時，h的值最大？

Answer 1

分析：（1）令y=0，求出x的值即可得到點A的坐標(biāo)，求出t=1時的x、y的值，得到點C的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式即可得解；
（2）根據(jù)直線的解析式求出點B的坐標(biāo)，然后求出OA、OB的長，再求出OP的長，然后根據(jù)直線解析式求出PC的長，從而得到點C的坐標(biāo)，然后表示出拋物線解析式，再分①PE與OA是對應(yīng)邊時，點E、A重合，然后把點A的坐標(biāo)代入拋物線求解即可得到t的值；②PE與OB是對應(yīng)邊時，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求出PE的長，然后得到點E的坐標(biāo)，再把點E的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可得到t的值；
（3）①聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點D的橫坐標(biāo)，再過點D作DH⊥PC于H，從而求出DH的長，再根據(jù)△DCH和△ABO相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可得到CD的長；
②過點O作OF⊥AB于F，過點F作FG⊥x軸于點G，根據(jù)勾股定理列式求出AB，再根據(jù)△AOB的面積求出OF的長，然后根據(jù)CD的長度不變，是定值可知OC的長度最小時，OC邊上的高h(yuǎn)最大，此時OF、OC重合，然后根據(jù)△OFG和△BAO相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-

1

2

x+2=0，解得x=4，
所以，點A（4，0），
∵點P的運動速度是每秒1個單位，
∴t=1時，x=1，y=-

1

2

+2=

3

2

，
∴點C的坐標(biāo)為（1，

3

2

），
∴拋物線解析式為y=-4（x-1）²+

3

2

；

（2）令x=0，則y=2，
所以，點B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-

1

2

t+2，
∴C（t，-

1

2

t+2），
∴y=-4（x-t）²-

1

2

t+2，
①PE與OA是對應(yīng)邊時，此時點E與點A重合，
∴-4（4-t）²-

1

2

t+2=0，
整理得，（t-4）（4t-16+

1

2

）=0，
解得t₁=4（為點C，舍去），t₂=

31

8

，
②PE與OB是對應(yīng)邊時，∵△PCE∽△OAB，
∴

PE

OB

=

CP

OA

，
即

PE

2

=

- 1 2 t+2

4

，
解得PE=-

1

4

t+1，
∴OE=t-

1

4

t+1=

3

4

t+1，點E的坐標(biāo)為（

3

4

t+1，0），
∵點E在拋物線上，
∴-4（

3

4

t+1-t）²-

1

2

t+2=0，
整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t₁=4（為點C，舍去），t₂=2，
綜上所述，當(dāng)t=2或t=

31

8

時，以C，P，E為頂點的三角形與AOB相似；

（3）①聯(lián)立

y=- 1 2 x+2 y=-4(x-t)2- 1 2 t+2

消掉y得，-4（x-t）²-

1

2

t+2=-

1

2

x+2，
整理得，（x-t）（-4x+4t+

1

2

）=0，
解得x₁=t，x₂=t+

1

8

，
則點D的橫坐標(biāo)為t+

1

8

，過點D作DH⊥PC于H，則DH=

1

8

，
∵PC⊥x軸，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，
∴

CD

AB

=

HD

AO

，
∵OA=4，OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∴

CD

2 5

=

1 8

4

，
解得CD=

5

16

；
②過點O作OF⊥AB于F，過點F作FG⊥x軸于點G，
∵不論點P在何處，CD的長不變，
∴△ODC的面積也不變，
當(dāng)OC長最小時，OC邊上的高h(yuǎn)最大，
∵S_△AOB=

1

2

×2

5

•OF=

1

2

×2×4，
∴OC=OF=

4 5

5

，
∵△OFG∽△BAO，
∴

OG

OB

=

OF

AB

，
即

OG

2

=

4 5 5

2 5

，
解得OG=

4

5

，
即t=

4

5

時，h的值最大．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了直線與坐標(biāo)軸的交點的求解，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，勾股定理，利用等積法求三角形的高，綜合性較強，難度較大，（2）要分情況討論，（3）作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．