已知關于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)0可能是方程的一個根嗎?若是,請求出它的另一個根;若不是,請說明理由;
(3)若此方程的兩個實數(shù)根的平方和為30,求實數(shù)k.
解:(1)由題意得:△=[2(k-1)]
2-4×1×(k
2-1)>0,
解得:k<1,
故實數(shù)k的取值范圍為k<1.
(2)0可能是方程的一個根,
把x=0代入原方程中,k
2-1=0,
∴k=±1,
∵k<1,
∴k=-1,
此時方程x
2-4x=0,
解得x
1=0,x
2=4,
故它的另一個根是4.
(3)設此方程的兩個實數(shù)根為x
1,x
2則x
1+x
2=-2(k-1),x
1•x
2=k
2-1,
∵x
12+x
22=30,
∴(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=30,
∴[-2(k-1)]
2-2(k
2-1)=30,
整理得k
2-4k-12=0,
解得:k
1=-2,k
2=6,
∵k<1,
∴k=-2.
分析:(1)根據(jù)題意可得△>0,再代入相應數(shù)值解不等式即可;
(2)把x=0代入原方程中得k
2-1=0,解出k的值,再把k的值代入x
2+2(k-1)x+k
2-1=0,解方程即可;
(3)設此方程的兩個實數(shù)根為x
1,x
2,根據(jù)根與系數(shù)的關系可得x
1+x
2=-2(k-1),x
1•x
2=k
2-1,根據(jù)“方程的兩個實數(shù)根的平方和為30”可得x
12+x
22=30,整理后可得[-2(k-1)]
2-2(k
2-1)=30,再解出k的值.
點評:此題主要考查了根的判別式,一元二次方程的解,以及根與系數(shù)的關系,關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系:
(1)△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)△<0?方程沒有實數(shù)根.
以及根與系數(shù)的關系:x
1,x
2是一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x
1+x
2=

,x
1x
2=

.