Question

如圖，點(diǎn)O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=90°，∠BOC=α，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEC，連接OE
（1）求證：△COE是正三角形；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，AC⊥OE，并說(shuō)明理由；
（3）探究是否存在α的值使得點(diǎn)O到正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之比為1：

3

：2？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出α的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BOC≌△AEC，進(jìn)而得出∠COE=∠CEO=∠OCE=60°即可得出答案；
（2）根據(jù)∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，得出∠AOE=210°-α，再利用∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°得出α的度數(shù)即可；
（3）根據(jù)當(dāng)OE：AO：AE=1：

3

：2時(shí)以及當(dāng)OA：EO：AE=1：

3

：2時(shí)，由勾股定理的逆定理以及銳角三角形函數(shù)關(guān)系得出α的度數(shù)即可．

解答：解：（1）由題意得：△BOC≌△AEC
∴CO=CE，
∴∠COE=∠CEO，
∵∠OCE=60°，
∴∠COE=∠CEO=∠OCE=60°，
∴△COE是正三角形．

（2）當(dāng)a=135°時(shí)，AC⊥OE，
理由如下：
∵△COE是正三角形，AC⊥OE
∴AC垂直平分OE，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO，
∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，
∴∠AOE=210°-α，
∵∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°
∴210°-α=α-60°，
解得α=135°，
所以當(dāng)α=135°時(shí)，AC⊥OE；

（3）∵△COE是正三角形，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEC，
∴AC=BC，EC=CO=EO，BO=AE，∠AEC=∠BOC，
當(dāng)OE：AO：AE=1：

3

：2時(shí)，
∴∠AOE=90°，△AOE是直角三角形，
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，
當(dāng)EO：AE：AO=1：

3

：2時(shí)，
∴△AOE是直角三角形，tan∠EAO=

EO

AE

=

3

3

，
∴∠EAO=30°，∠AOE=60°，∠AEO=90°，
∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，
故當(dāng)a=120°或150°時(shí)，
存在α的值使得點(diǎn)O到正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之比為：1：

3

：2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理的逆定理等知識(shí)，利用分類討論的思想得出不同情況是此題的易錯(cuò)點(diǎn)．