Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為。

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

∴，解得。

∴直線AC的解析式為。

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）。

研三理-孟奕含(713000529);∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）。

∴PM=PE－ME=（）－（）=。

∴PM=（0＜m＜3）。

（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似。理由如下：

由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，

若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：

①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），

∵m≠0且m≠3，∴m=。

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF。

在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°。

∴△PCM為直角三角形。

②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），

∵m≠0且m≠3，∴m=1。

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。

∴△PCM為等腰三角形。

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形。

【解析】（1）將A（3，0），C（0，4）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。

（2）先根據(jù)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到PM的長(zhǎng)。

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對(duì)應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀。