Question

已知關(guān)于x的方程x²-（m-3）x+m-4=0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一個(gè)根大于4且小于8，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=（m-5）²，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△≥0，然后根據(jù)判別式的意義判斷根的情況；
（2）利用求根公式解方程得到x₁=m-4，x₂=1，再利用方程有一個(gè)根大于4且小于8得4＜m-4＜8，然后解不等式組即可．

解答：（1）證明：△=（m-3）²-4（m-4）
=m²-10m+25
=（m-5）²，
∵（m-5）²≥0，即△≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）x=

m-3±(m-5)

2

，得x₁=m-4，x₂=1，
∵方程有一個(gè)根大于4且小于8，
∴4＜m-4＜8，
∴8＜m＜12．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．