Question

如圖，點(diǎn)A是拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在這條拋物線上，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．連接AB并延長交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交AC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．點(diǎn)P在線段CA上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式．
（2）當(dāng)四邊形DEMQ為矩形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）設(shè)線段PQ的長為d（d＞0），求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．
（4）在（3）的情況下，請直接寫出當(dāng)d隨著m的增大而減小時(shí)，m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令y=0，則-x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
∴y=-×2²+5×2=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB的解析式為y=-x+10；

（2）拋物線y=-x²+5x的對稱軸為直線x=-=4，
x=4時(shí)，y=-×4+10=5，
∴DE=5，
∵四邊形DEMQ為矩形，
∴MQ=5，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5，
∴-x²+5x=5，
整理得，x²-8x+8=0，
解得x₁=4-2，x₂=4+2（舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4-2，5）；

（3）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PM⊥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，
∴點(diǎn)P（m，-m+10），點(diǎn)Q（m，-m²+5m），
①點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，線段PQ的長為d=（-m+10）-（-m²+5m）=m²-m+10，
即d=m²-m+10；
②點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，線段PQ的長為d=（-m²+5m）-（-m+10）=-m²+m-10，
即d=-m²+m-10，
∴d與m的關(guān)系式為d=；

（4）①點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，函數(shù)d=m²-m+10的對稱軸為直線m=-=5，
∵＞0，
∴d＜5時(shí)，d隨著m的增大而減小，
∵點(diǎn)P在線段CB上，
∴0＜d＜2，
②點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，函數(shù)d=-m²+m-10的對稱軸為直線m=-=5，
∵-＜0，
∴d＞5時(shí)，d隨著m的增大而減小，
∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴5＜d＜8，
綜上所述，d隨著m的增大而減小時(shí)，m的取值范圍是0＜d＜2或5＜d＜8．
分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把x=2代入拋物線求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到DE的長度，再根據(jù)矩形的對邊相等求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)然后代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得解；
（3）分點(diǎn)P在線段CB上和在線段AB上兩種情況，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)表示出PQ的長度，列式整理即可；
（4）分別求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，然后利用二次函數(shù)的增減性解答．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，垂直于坐標(biāo)軸的兩點(diǎn)間的距離的表示，以及二次函數(shù)的增減性，（3）（4）兩個(gè)小題注意要根據(jù)點(diǎn)P的位置分情況討論．