Question

如圖1，B、A在x、y軸的正半軸上，C在x軸正半軸上B點的右側，OB、OC是方程x²-3x+2=0的兩根，AB=2OB，D（1，-1）．
（1）求四邊形AODB的面積；
（2）若y=kx+1（k≠0）交線段AO、BD于E、F，且S_{四邊形AEFB}=

1

4

+

3

4

，求k的值；
（3）將△OCD繞點C順時針旋轉一定角度后得到△O′CD′，若點D′恰好落在邊AB上，求O′到x軸的距離．

Answer 1

分析：（1）先由解方程x²-3x+2=0求得兩根x₁=1，x₂=2，從而確定OB=1，OC=2，進而得到AB=2，OA=

3

，BD=1，然后利用梯形的面積公式直接求S_{四邊形AODB}=

1

2

+

3

2

．
（2）先根據(jù)y=kx+1（k≠0）求出OE=1，AE=

3

-1，再利用梯形面積公式S_{四邊形AEFB}=

1

2

（BF+AE）×1得到：

1

2

（BF+

3

-1）×1=

1

4

+

3

4

，解方程求出BF=

3

2

-

3

2

．可得到點F坐標為（1，

3

2

-

3

2

），再利用待定系數(shù)法求得k=

3

2

-

5

2

．
（3）要想利用旋轉前后的兩個圖形全等的條件，需要過點D′作D′E⊥x軸于點E，過點O′作O′F⊥D′E交D′E的反向延長線于點F，先利用CD′=CD和Rt△D′EC中的勾股定理求出BE=

-1+ 5

4

，從而求出  D′E=

- 3 + 15

4

，再利用△O′FD′≌△D′EC求出FD′=EC=BE+BC=

3+ 5

4

，即可求出O′到x軸的距離為FE=FD′+D′E=

3+ 5 - 3 + 15

4

．

解答：解：（1）解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，故OB=1，OC=2
∵AB=2OB，D（1，-1）
∴AB=2  OA=

3

  BD=1
∴S_{四邊形AODB}=

1

2

（BD+OA）•OB=

1

2

（1+

3

）×1=

1

2

+

3

2

（2）y=kx+1（k≠0）交線段AO、BD于E、F，如圖，則OE=1  AE=

3

-1
∵S_{四邊形AEFB}=

1

2

（BF+AE）×1=

1

2

（BF+

3

-1）×1=

1

4

+

3

4

，
∴BF=

3

2

-

3

2

故點F坐標為（1，

3

2

-

3

2

），代入y=kx+1（k≠0）得
k=

3

2

-

5

2

（3）過點D′作D′E⊥x軸于點E，過點O′作O′F⊥D′E交D′E的反向延長線于點F
設BE=a，則D′E=

3

a，在Rt△D′EC中，EC=EB+BC=a+1，D′C=DC=

2

∴（

3

a）²+（a+1）²=（

2

）²
解得a=

-1± 5

4

∴BE=

-1+ 5

4

    D′E=

- 3 + 15

4

∵O′D′=CD′∠FD′O′=∠ECD′∠F=∠D′EC=90°
∴△O′FD′≌△D′EC
∴FD′′=EC=BE+BC=

-1+ 5

4

+1=

3+ 5

4

∴O′到x軸的距離為FE=FD′+D′E=

3+ 5

4

+

- 3 + 15

4

=

3+ 5 - 3 + 15

4

點評：考查了一次函數(shù)綜合題．利用圖形的面積的兩種表示形式作為等量關系列方程是常用的一種方法．第（3）題中輔助線做法是常用的一種方法，這樣可以把旋轉前后的數(shù)量關系聯(lián)系在一起．