Question

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B、D在直線a的異側(cè)，BE⊥直線a于點(diǎn)E，CF⊥直線a于點(diǎn)F，連接DE、DF．

（1）延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)G（如圖2）．①求證：△BDE≌△CDG；②DE=DF；
（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到（圖3）的位置時(shí)，點(diǎn)B、D在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)DE=DF成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①由BE⊥直線a于點(diǎn)E，CF⊥直線a就可以得出BE∥CF，就可以得出∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC，就可以由得出AAS得出△BDE≌△CDG；
②由△BDE≌△CDG就可以得出DE=DG，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)ED交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)條件可以得出證明△BDE≌△CDG就可以得出ED=DG，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）①∵BE⊥直線a，CF⊥直線a，
∴BE∥CF，
∴∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC．
∵點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

∠EBD=∠GCD ∠DEB=∠DGC BD=CD

，
∴△BDE≌△CDG（AAS）；
②∵△BDE≌△CDG，
∴ED=GD．
∵CF⊥直線a，
∴∠CFE=90°，
∴DF=

1

2

EG．
∴DE=DF；
（2）DE=DF成立
理由：延長(zhǎng)ED交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
①∵BE⊥直線a，CF⊥直線a，
∴BE∥CF，
∴∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC．
∵點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

∠EBD=∠GCD ∠DEB=∠DGC BD=CD

，
∴△BDE≌△CDG（AAS）；
∴ED=GD．
∵CF⊥直線a，
∴∠CFE=90°，
∴DF=

1

2

EG．
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運(yùn)用，全都三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．