Question

如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，求證：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等邊三角形；　
（4）FH∥BD．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；

（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等邊三角形．

（4）∵△CHF為等邊三角形
∴∠FHC=60°，
∵∠HCD=60°，
∴FH∥BD．
分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出條件，可證明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再運用平角定義得出∠BCF=∠ACH進而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．
（3）由CF=CH和∠ACH=60°根據(jù)“有一個角是60°的三角形是等邊三角形可得△CFH是等邊三角形．
（4）∠DCH=∠CHF=60°，可得FH∥BD．
點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時還要結合等邊三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關鍵．