Question

（2013•歷城區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+n與拋物線y=ax²+bx-3交于A（-2，0）、B（4，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
（1）求直線與拋物線的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值；
②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為9：10？若存在，直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入y=kx+n中求出k與n的值，確定出直線解析式；將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）①設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長(zhǎng)，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標(biāo)為m，分別代入直線與拋物線解析式得到兩個(gè)縱坐標(biāo)之差為PC的長(zhǎng)，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可；
②存在，過(guò)D作DF⊥CP，過(guò)B作BG⊥PQ，交PC延長(zhǎng)線與點(diǎn)Q，表示出DF與BG，進(jìn)而表示出三角形DCP面積與三角形BCP面積，根據(jù)面積之比為9：10列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．

解答：解：（1）將A（-2，0），B（4，3）代入直線y=kx+n中，得：

-2k+n=0 4k+n=3

，
解得：

k= 1 2 n=1

，
∴直線解析式為y=

1

2

x+1；
將A（-2，0），B（4，3）代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx-3得：

4a-2b-3=0 16a+4b-3=3

，
解得：

a= 1 2 b=- 1 2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-3；

（2）①∵PC∥y軸，
∴∠ACP=∠AEO，
對(duì)于直線y=

1

2

x+1，令y=0，得到x=-2，即AO=2，令x=0，得到y(tǒng)=1，即OE=1，
根據(jù)勾股定理得到AE=

5

，
∴sin∠ACP=sin∠AEO=

OA

AE

=

2 5

5

，
將x=m代入直線解析式得：y=

1

2

m+1；代入拋物線解析式得：y=

1

2

m²-

1

2

m-3，
∴CP=（

1

2

m+1）-（

1

2

m²-

1

2

m-3）=-

1

2

m²+m+4，
∴DP=CP•sin∠ACP=（-

1

2

m²+m+4）×

2 5

5

=-

5

5

（m-1）²+

9 5

5

，
∵-

5

5

＜0，
∴當(dāng)m=1時(shí)，DP的最大值為

9 5

5

；
②存在，
過(guò)D作DF⊥CP，過(guò)B作BG⊥PQ，交PC延長(zhǎng)線與點(diǎn)Q，
∵sin∠ACP=

2 5

5

，
∴cos∠ACP=

5

5

，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=

5

5

×（-

1

2

m²+m+4）×

2 5

5

=-

1

5

（m²+2m-8），
又∵BG=4-m，
∴

S△DCP

S△BCP

=

1 2 DF•CP

1 2 BG•CP

=

DF

BG

=

- 1 5 (m2+2m-8)

4-m

=

m+2

5

，
當(dāng)

S△DCP

S△BCP

=

m+2

5

=

9

10

時(shí)，解得：m=

5

2

；
當(dāng)

S△DCP

S△BCP

=

m+2

5

=

10

9

時(shí)，解得：m=

32

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問(wèn)的關(guān)鍵．