如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠A=30°,AB是⊙O的直徑,過點C作⊙O的切線,交AB延長線于D,CD=3cm,
(1)求⊙O的直徑;
(2)若動點M以3cm/s的速度從點A出發(fā)沿AB方向運動,同時點N以1.5cm/s的速度從B點出發(fā)沿BC方向運動.設運動的時間為t(0≤t≤2),連接MN,當t為何值時△BMN為直角三角形?并求此時該三角形的面積?

【答案】分析:(1)根據(jù)圓與切線的位置關系,可知∠BCD=∠A=30°,且AB為直徑,可推出AC=CD,再由三角函數(shù)關系可得出⊙O的直徑.
(2)經分析,∠BNM或∠BMN可以為直角,即,此時MN∥AC,有速度關系可列出關系式.再根據(jù)面積公式即可算出.
解答:解:(1)連接OC,
∵CD為切線,
∴∠DCO=90°
∵∠A=30°,OA=OC,
∴∠ACO=30°
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,∠OCB=60°,
∴∠BCD=30°,∠ABC=60°,
∴∠BCD=∠A=30°,∠D=30°,
∴∠A=∠D,
∴AC=CD=,即AB=6cm.

(2)如圖1:當∠BNM=90°時,MN∥AC,
,得t=1,即MN恰為△ACB的中位線,
=cm2,
當∠BMN=90°時,cos∠MBN=,
即cos60°=,解得t=1.6,
此時,MN=BM=(6-3t)=1.2,
S=×1.2×1.2=cm2
點評:本題主要考查了圓切線的性質及相似三角形的性質,解題的關鍵是由MN∥AC,得出兩組對應邊的比相等從而解決問題.
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