Question

已知拋物線y=ax²（a＞0）上有兩點A、B，其橫坐標分別為-1，2，請?zhí)角箨P于a的取值情況，△ABO可能是直角三角形嗎？不能，說明理由；能是直角三角形，寫出探求過程，并與同伴交流．

Answer 1

解：如圖，A（-1，a），B（2，4a）．

（1）若∠AOB=90°．
∴∠AOC=∠OBD，
∵∠BDE=∠ACO=90°，
∴△ACO∽△ODB，，．
∴4a²=2，a²=，a=±．
∵a＞0，
∴當a=時，∠AOB=90°．

（2）若∠BAO=90°，過A作AE⊥BD于E，則AE=3，BE=3a．
∵OB²=AB²+OA²，
OA²=AC²+OC²=a²+1，
OB²=OD²+BD²=16a²+4，
AB²=9+9a²．
∴16a²+4=9+9a²+a²+1．
即a²=1．
∵a＞0，
∴a=1．
當a=1時，∠OAB=90°，
即△ABO為直角三角形．
分析：先根據拋物線的解析式求出A、B兩點的坐標，然后分兩種情況進行討論：
①∠AOB=90°，過A、B作x軸的垂線，設垂足為C、D，則有△ACO∽△ODB，可根據相似三角形得出的關于AC、OC、OD、BD的比例關系式求出a的值．
②∠BAO=90°，可用AB長的不同表示方法來求解．已知了AB的坐標，可用坐標系兩點間的距離公式得出AB²值（也可過A作BD的垂線用勾股定理來求，道理是一樣的）．然后根據∠BAO=90°，在直角三角形BOA中，用勾股定理求出AB²的值，然后讓這兩個表示AB²的表達式相等即可求出a的值．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形的判定等知識點．