Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，以B為圓心，AB為半徑作，在扇形BAC內(nèi)作⊙O與AB、BC、都相切，則⊙O的周長(zhǎng)等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   π

Answer 1

C
分析：連接OB并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)E，設(shè)AB與圓的切點(diǎn)為D，連接OD，由三角形ABC為等邊三角形得到BA=BC，且∠ABC=60°，再由以B為圓心，AB為半徑作，得到BE=BA=BC=2，根據(jù)對(duì)稱性得到∠ABE=30°，由AB與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB，在直角三角形BOD中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到OD等于OB的一半，設(shè)OD=OE=x，可得出OB=2x，由BO+OE=BE=2，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓O的半徑，即可求出圓O的周長(zhǎng)．
解答：解：連接OB并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)E，設(shè)AB與圓的切點(diǎn)為D，連接OD，
∵△ABC為等邊三角形，以B為圓心，AB為半徑作，
∴∠ABC=60°，BA=BC=BE=2，
由對(duì)稱性得到：∠ABE=30°，
∵AB為圓O的切線，
∴OD⊥AB，
在Rt△BOD中，∠ABE=30°，設(shè)OD=OE=x，
可得OB=2x，
∴OB+OE=BE，即2x+x=2，
解得：x=，即圓O的半徑為，
則圓O的周長(zhǎng)為π．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．