如圖,已知拋物線(為常數(shù),且)與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求的值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止. 當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少?
(1);(2)或 ;(3)F.
解析試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系,依次求出的值得到直線的解析式、點(diǎn)D的縱坐標(biāo)、的值得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
∵BM=9,AB=6,∴BF=,BD=,AF=
(2)分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可.
(3)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,則點(diǎn)F即為所求,理由是,由于點(diǎn)M在線段AF上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),在線段FD上以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),從而根據(jù)直線BD的傾斜角是30°知道,又根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知點(diǎn)F即為所求,從而根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求解即可.
試題解析:(1)∵拋物線(為常數(shù),且)與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),
∴A(-2,0),B(4,0).
∵點(diǎn)B在直線上,∴,即.
∴直線的解析式為.
∵點(diǎn)D在直線上,且橫坐標(biāo)為-5,∴縱坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)D在拋物線上,∴,解得.
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
(2)易得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為,則.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
分兩種情況:
①若△PAB∽△ABC,則∠PAB=∠ABC,.
∴由∠PAB=∠ABC 得,即.
∴,解得.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,
∴由得,解得.
②若△PAB∽△BAC,則∠PAB=∠BAC,.
∴由∠PAB=∠BAC 得,即.
∴,解得.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,
∴由得,解得.
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,則點(diǎn)F即為所求.
∵直線BD的解析式為,∴∠FBA=∠FGD=30°.
∵AB=6,∴AF=.
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為.
考點(diǎn):1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題;2.二次函數(shù)和一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題;3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;4.勾股定理;5.相似三角形的判定;6.垂直線段最短的性質(zhì);7.分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知直線過(guò)點(diǎn)和,是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),的垂直平分線交于點(diǎn),交軸于點(diǎn).
(1)直接寫出直線的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè),的面積為,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;并求出S的最大值;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上(Q與A、B不重合)時(shí),直線過(guò)點(diǎn)A且與x軸平行,問(wèn)在上是否存在點(diǎn)C,使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè),點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí),若是等腰三角形,求拋物線的解析式;
(3)已知一次函數(shù),點(diǎn)P(n,0)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,若只有當(dāng)時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x軸,拋物線y=ax2-2ax+3經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),并且與x軸交于點(diǎn)D、E,點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接CD,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P使△PCD為直角三角形,若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、C,與y軸交于點(diǎn)B(0,3),拋物線的頂點(diǎn)為p。
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線向下平移k個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-5,6)。
①求k的值及平移后拋物線所對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值;
②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為Q,點(diǎn)M是平移后的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),△MBD的而積是△MPQ面積的2倍?求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí),求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí),連接DQ.過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG=DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、D(A在D的右側(cè)),與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使得MD+MC的值最小,并求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為B,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知二次函數(shù)y=a(x2-6x+8)(a>0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若S△ABC=8,則過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓是否與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D?若存在,求出D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)將△OAC沿直線AC翻折,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O'.
①若O'落在該拋物線的對(duì)稱軸上,求實(shí)數(shù)a的值;
②是否存在正整數(shù)a,使得點(diǎn)O'落在△ABC的內(nèi)部,若存在,求出整數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.
(1)圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AE=EF,請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案,并指出是哪兩個(gè)三角形全等(不要求證明);
(2)如圖2,若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合).
①AE=EF是否總成立?請(qǐng)給出證明;
②在如圖2的直角坐標(biāo)系中,當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí),點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上,求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).
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