Question

（2011•太原二模）如圖1，分別過線段AB的端點A、B作直線AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分線交于點C，過點C的直線l分別交AM、BN于點D、E．

（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）在圖1中，當直線l⊥AM時，線段AD、BE、AB之間有怎樣的數(shù)量關系？證明你的猜想；
（3）當直線l繞點C旋轉(zhuǎn)到與AM不垂直時，在如圖2、3兩種情況下，（2）中的三條線段之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠MAB+∠ABN=180°，求出∠CAB+∠ACB=

1

2

（∠MAB+∠ABN）=90°，求出∠ACB=90°即可．
（2）求出AB=BQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AC=CQ，推出AD=EQ，即可得出答案．
（3）求出AB=BQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AC=CQ，推出AD=EQ，即可得出答案．

解答：（1）證明：AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
∵AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，
∴∠CAB=

1

2

∠MAB，∠ABC=

1

2

∠ABN，
∴∠CAB+∠ACB=

1

2

（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（2）AD+BE=AB，
證明：延長AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AQB，
∴∠BAC=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ，
∵AM∥BN，
∴

AD

EQ

=

AC

CQ

=

1

1

，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB．

（3）成立，
證明：如圖2，
延長AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AQB，
∴∠BAC=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ，
∵AM∥BN，
∴

AD

EQ

=

AC

CQ

=

1

1

，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB．

點評：本題考查了平行線等分線段定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的應用，主要考查學生的推理能力．