Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB且AB=AE，過(guò)點(diǎn)E分別作EF⊥AC，ED⊥BC，分別交AC和BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，D．若FC=5，求四邊形ABDE的周長(zhǎng)．

Answer 1

解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC和△EAF中，
∵，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC中，AB===．
∴AE=．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四邊形EFCD是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四邊形ABDE的周長(zhǎng)=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2．
分析：首先證明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出四邊形EFCD是矩形，求出四邊形ABDE的周長(zhǎng)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出AC=EF=9是解題關(guān)鍵．