九(1)班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組,為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題,他們經(jīng)歷了實(shí)踐--應(yīng)用--探究的過程:
(1)實(shí)踐:他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道(如圖①)進(jìn)行測量,測得一隧道的路面寬為10m,隧道頂部最高處距地面6.25m,并畫出了隧道截面圖,建立了如圖②所示的直角坐標(biāo)系,請你求出拋物線的解析式.
(2)應(yīng)用:按規(guī)定機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí),車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m.為了確保安全,問該隧道能否讓最寬3m,最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛(兩車并列行駛時(shí)不考慮兩車間的空隙)?
(3)探究:該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識,他們借助上述拋物線模型,提出了以下兩個(gè)問題,請予解答:
I.如圖③,在拋物線內(nèi)作矩形ABCD,使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上,頂點(diǎn)A、B落在x軸 上.設(shè)矩形ABCD的周長為l求l的最大值.
II•如圖④,過原點(diǎn)作一條y=x的直線OM,交拋物線于點(diǎn)M,交拋物線對稱軸于點(diǎn)N,P 為直線0M上一動(dòng)點(diǎn),過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q.問在直線OM上是否存在點(diǎn)P,使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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分析:(1)利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)已知得出當(dāng)x=2時(shí),正好是汽車寬度,求出即可;
(3)I.首先表示出矩形周長,再利用二次函數(shù)最值公式求出;
II•利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN=AB=AO,以及P在y=x的圖象上,即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)根據(jù)坐標(biāo)系可知此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,6.25),且圖象過(10,0)點(diǎn),
代入頂點(diǎn)式得:
y=a(x-5)2+6.25,
∴0=a(10-5)2+6.25,
解得:a=-0.25,
∴y=-0.25(x-5)2+6.25;

(2)當(dāng)最寬3m,最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時(shí),
∴10-3×2=4,
4÷2=2,
∴x=2代入解析式得:
y=-0.25(2-5)2+6.25;
y=4,
4-3.5=0.5,
∴隧道能讓最寬3m,最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛;

(3)I.假設(shè)AO=x,可得AB=10-2x,
∴AD=-0.25(x-5)2+6.25;精英家教網(wǎng)
∴矩形ABCD的周長為l為:l=2[-0.25(x-5)2+6.25]+2(10-2x)=-0.5x2+x+20,
∴l(xiāng)的最大值為:
4ac-b 2
4a
=
4×(-
1
2
)×20-1
-2
=20.5.
II•當(dāng)以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,
∵P在y=x的圖象上,過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q.
∴∠POA=∠OPA=45°,
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5,
∴5=
-m2+10m
4
,
解得:m=5±
5
,
當(dāng)∠P3NQ3=90°時(shí),過點(diǎn)Q3作Q3K1⊥對稱軸,
當(dāng)△NQ3K1為等腰直角三角形時(shí),△NP3Q3為等腰直角三角形,
Q點(diǎn)在OM的上方時(shí),P3Q3=2Q3K1,P3Q3=-
1
4
x+
5
2
x
-x,
Q3K1=5-x,
Q點(diǎn)在OM的下方時(shí),P4Q4=2Q4K2,P4Q4=x-(-
1
4
x+
5
2
x
),
Q4K2=x-5,精英家教網(wǎng)
1
4
x2-
7
2
x+10=0,
解得:x1=4,x2=10,
P3(4,4),P4(10,10)
∴使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,P點(diǎn)的坐標(biāo)為:
(5-
5
,5-
5
)或(5+
5
,5+
5
)或(4,4)或(10,10).
點(diǎn)評:此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)圖象獲取正確點(diǎn)的坐標(biāo)以及利用y=x圖象上點(diǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校九年級(2)班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案,并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分.
課題 測量校內(nèi)旗桿高度
目的 運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題---測量旗桿高度
方案 方案一 方案二 方案三




示意圖
精英家教網(wǎng) 精英家教網(wǎng)
測量工具 皮尺、測角儀 皮尺、測角儀
測量數(shù)據(jù) AM=1.5m,AB=10m
∠α=30°,∠β=60°
AM=1.5m,AB=20m
∠α=30°,∠β=60°
計(jì)算過程(結(jié)
果保留根號)
解: 解:
(1)請你在方案一二中任選一種方案(多選不加分),根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫表中的計(jì)算過程、測量結(jié)果;
(2)請你根據(jù)所學(xué)的知識,再設(shè)計(jì)一種不同于方案一、二的測量方案三,并完成表格中方案三的所有欄目的填寫.(要求:在示意圖中標(biāo)出所需的測量數(shù)據(jù)長度用字母a,b,c…表示,角度用字母α,β,γ…表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校九年級(2)班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案,并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分.
數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告
活動(dòng)小組:第一組
活動(dòng)地點(diǎn):學(xué)校操場
活動(dòng)時(shí)間:××××年××月××日年上午9:00
活動(dòng)小組組長:×××
課題 測量校內(nèi)旗桿高度
目的 運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題----測量旗桿高度
方案 方案一 方案二 方案三




示意圖
精英家教網(wǎng) 精英家教網(wǎng)  
測量工具 皮尺、測角儀 皮尺、測角儀  
測量數(shù)據(jù) AM=1.5m,AB=10m
∠α=30°,∠β=60°
AM=1.5m,AB=20m
∠α=30°,∠β=60°
 
 
計(jì)算過程(結(jié)
果保留根號)
解:
 
 
 
 
解:  
(1)請你在方案一二中任選一種方案(多選不加分),根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫表中的計(jì)算過程、測量結(jié)果;
(2)請你根據(jù)所學(xué)的知識,再設(shè)計(jì)一種不同于方案一、二的測量方案三,并完成表格中方案三的所有欄目的填寫.(要求:在示意圖中標(biāo)出所需的測量數(shù)據(jù)長度用字母a,b,c…表示,角度用字母α,β,γ…表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校九年級(2)班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案,并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分.
數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告
活動(dòng)小組:第一組                                              活動(dòng)地點(diǎn):學(xué)校操場
活動(dòng)時(shí)間:××××年××月××日年上午9:00                 活動(dòng)小組組長:×××
課題 測量校內(nèi)旗桿高度
目的 運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題--測量旗桿高度
示意圖
精英家教網(wǎng)
測量工具 皮尺、測角儀
測量數(shù)據(jù): AM=1.5m,AB=10m,∠α=30°,∠β=60°
計(jì)算過程(結(jié)
果保留根號)
解:
測量結(jié)果 DN=

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某校九年級(2)班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案,并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分.
數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告
活動(dòng)小組:第一組
活動(dòng)地點(diǎn):學(xué)校操場
活動(dòng)時(shí)間:××××年××月××日年上午9:00
活動(dòng)小組組長:×××
課題測量校內(nèi)旗桿高度
目的運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題----測量旗桿高度
方案方案一方案二方案三




示意圖
測量工具皮尺、測角儀皮尺、測角儀
測量數(shù)據(jù)AM=1.5m,AB=10m
∠α=30°,∠β=60°
AM=1.5m,AB=20m
∠α=30°,∠β=60°

計(jì)算過程(結(jié)
果保留根號)
解:



解:
(1)請你在方案一二中任選一種方案(多選不加分),根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫表中的計(jì)算過程、測量結(jié)果;
(2)請你根據(jù)所學(xué)的知識,再設(shè)計(jì)一種不同于方案一、二的測量方案三,并完成表格中方案三的所有欄目的填寫.(要求:在示意圖中標(biāo)出所需的測量數(shù)據(jù)長度用字母a,b,c…表示,角度用字母α,β,γ…表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第1章《解直角三角形》中考題集(35):1.5 解直角三角形的應(yīng)用(解析版) 題型:解答題

某校九年級(2)班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案,并根據(jù)測量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分.
課題測量校內(nèi)旗桿高度
目的運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題---測量旗桿高度
方案方案一方案二方案三




示意圖
測量工具皮尺、測角儀皮尺、測角儀
測量數(shù)據(jù)AM=1.5m,AB=10m
∠α=30°,∠β=60°
AM=1.5m,AB=20m
∠α=30°,∠β=60°
計(jì)算過程(結(jié)
果保留根號)
解:解:
(1)請你在方案一二中任選一種方案(多選不加分),根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫表中的計(jì)算過程、測量結(jié)果;
(2)請你根據(jù)所學(xué)的知識,再設(shè)計(jì)一種不同于方案一、二的測量方案三,并完成表格中方案三的所有欄目的填寫.(要求:在示意圖中標(biāo)出所需的測量數(shù)據(jù)長度用字母a,b,c…表示,角度用字母α,β,γ…表示)

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