Question

（2002•南昌）已知拋物線y=-x²+bx+c與X軸的兩個交點分別為A（m，0），B（n，0），且m+n=4，．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為D，與y軸的交點為C，試判斷四邊形ACBD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據m+n=4，．就可以求出m，n的值，即得到A，B的坐標，根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（2）已知拋物線的解析式，則利用配方法就可以求出頂點D的坐標，以及與y軸的交點的坐標，利用點的坐標可分別求出∠DBA=∠DAB=∠ABC=45°．即可判斷四邊形的形狀．
解答：解：（1）由解得m=1，n=3，
將A（1，0），B（3，0）的坐標分別代入y=-x²+bx+c，
解得b=4，c=-3，
∴此拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．

（2）四邊形ABCD是直角梯形．
證明：∵拋物線y=-x²+4x-3與y軸交點坐標為（0，-3）．
∴OC=OB，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
過點D作y軸的平行線交x軸于點E，
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點D的坐標為（2，1），
DE⊥AB，AE=EB=DE=1，
∴∠DAE=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠OBC=45°，
即AD∥BC，
又∵∠BAC＞90°，∠ABD=45°，
∴AC與BD不平行．
∴四邊形ABCD是直角梯形．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及等腰直角三角形三邊的關系和梯形的定義．