Question

【題目】在第一象限內(nèi)作射線(xiàn)OC，與x軸的夾角為60°，在射線(xiàn)OC上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x 軸于點(diǎn)H，在拋物線(xiàn)y=x2（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得以P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是______．

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：①如圖1，當(dāng)∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；

∵∠AOH=60°，

∴直線(xiàn)OA：y=x，

聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式得： ，

解得： 或，

故A（，3）；

②當(dāng)∠POQ=∠AOH=60°，此時(shí)△POQ≌△AOH，

易知∠POH=30°，則直線(xiàn)y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，得： ，

解得： 或，

故P（， ），那么A（， ）；

③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；

易知∠POH=30°，則直線(xiàn)y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，得： ，

解得： 或，

故P（， ），

∴OP=，QP=，

∴OH=OP=，AH=QP=，

故A（， ）；

④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)△OQP≌△AOH；

此時(shí)直線(xiàn)y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，得： ，

解得： 或，，

∴P（，3），

∴QP=2，OP=2，

∴OH=QP=2，AH=OP=2，

故A（2，2）．

綜上可知：符合條件的點(diǎn)A有四個(gè)，分別為：（，3）或（， ）或（， ）或（2，2）．