Question

（2009•金華模擬）如圖△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC，AC分別為在D，E．則下列判斷：①BD=CD；②BD=DE；③AE=DE；④△ABC為銳角三角形．其中正確的判斷有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：連接AD，由圓周角定理可求得AD⊥BC；△ABC中，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，即可求得BD=CD；因此①的結(jié)論正確．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠DEC=∠B；在等腰△ABC中，∠B=∠C，因此∠DEC=∠C，由此可證得②的結(jié)論正確．
③成立的前提條件為D、E是半圓AB的三等分點(diǎn)，此時(shí)△ABC是等邊三角形，顯然此種情況是不一定成立的．
根據(jù)線段AC與圓的位置關(guān)系，從點(diǎn)E的位置情況可分別討論，得到∠A一定是銳角，可得④成立．
故本題正確的結(jié)論為①②④．
解答：解：連接AD，則∠ADB=90°；
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
∴BD=CD；故①正確．
∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠CED=∠B；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∴∠DEC=∠C，即DE=CD=BD．
故②正確．
根據(jù)線段AC與圓的位置關(guān)系，從點(diǎn)E的位置情況可分別討論，得到∠A一定是銳角，可得④成立．
由∠A是銳角，∠B=∠C，因此④成立；
若AE=DE，則AE=BD=DE，即D、E是弧AB的三等分點(diǎn)．
此時(shí)∠A=∠B=60°，即△ABC為等邊三角形；
由于沒(méi)有條件能夠證明△ABC是等邊三角形，因此③不成立．
故本題正確的結(jié)論為①②④．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)．