Question

如圖，一次函數(shù)y₁=ax+2與反比例函數(shù)y₂=

k

x

的圖象交于點A（4，m）和B（-8，-2），與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（1）求a、k的值；
（2）過點A作AE⊥x軸于點E，若P為反比例函數(shù)圖象的位于第一象限部分上的一點，且直線OP分△ADE所得的兩部分面積之比為2：7．請求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，請在x軸上找一點Q，使得△PQC的周長最小，并求出點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）將B坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B坐標代入一次函數(shù)解析式求出a的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）分兩種情況考慮：①假設P存在，連接OP，交AE于點F，如圖所示，將A坐標代入反比例解析式中求出m的值，確定出A的坐標，得到AE與OE的長，令一次函數(shù)y=0求出x的值，確定出D的坐標，得到OD的長，由OD+OE求出DE的長，進而確定出直角三角形ADE的面積，由三角形OEF的面積與四邊形AFOD的面積之比，求出三角形OEF的面積，由OE的長，利用三角形面積公式求出FE的長，確定出F坐標，設直線OF解析式為y=kx，將F坐標代入求出k的值，確定出直線OF解析式，與反比例解析式聯(lián)立即可求出P的坐標，經檢驗符合題意；②假設P點存在，連接OP交AC于點F，過F作FH⊥x軸同理得到三角形FDC的面積，由OD求出FH的長，代入已知一次函數(shù)解析式中，確定出F坐標，得到F在第二象限，不合圖形，矛盾，此時P不存在，綜上，得到滿足題意P的坐標；
（3）由（2）得出P的坐標，找出P關于x軸的對稱點P′，連接CP′于x軸交于Q點，求出即可．

解答：解：（1）將B（-8，-2）代入反比例函數(shù)解析式得：-2=

k

-8

，解得：k=16，
將B（-8，-2）代入一次函數(shù)解析式得：-8a+2=-2，解得：a=

1

2

；

（2）分兩種情況考慮：
①設P點存在，連接OP交AE于點F，

將A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函數(shù)y=

1

2

x+2中，y=0，解得：x=-4，
則AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
則S_△ADE=

1

2

AE•DE=

1

2

×4×8=16，
又∵S_△OEF：S_{四邊形AFOD}=2：7，
∴S_△OEF=

2

9

×16=

32

9

，
又∵S_△OEF=

1

2

EF•OE，OE=4，
∴EF=

16

9

，
∴F（4，

16

9

），
設直線OF的方程為y=kx，將F（4，

16

9

）代入得：k=

4

9

，
將直線OF方程與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立得：

y= 4 9 x y= 16 x

，
解得：

x=6 y= 8 3

或

x=-6 y=- 8 3

．
∵P點在第一象限內，
∴P（6，

8

3

）；
②設P點存在，連接OP交AC于點F，過F作FH⊥x軸，

∵S_△FDO：S_{四邊形ACOE}=2：7，
∴S_△FDO=

32

9

，
∴FH=y=

16

9

代入y=

1

2

x+2得：x=-

4

9

，
∴F（-

4

9

，

16

9

），在第二象限，
與圖形矛盾，故此時P點不存在，
綜上，P的坐標為（6，

8

3

）；

（3）點P存在時，P（6，

8

3

），則P點關于x軸的對稱點為P′（6，-

8

3

），
連接P′C交x軸于點Q，

設P′C的方程為y=kx+b，將C與P′坐標代入得：

6k+b=- 8 3 b=2

，
解得：

k=- 7 9 b=2

．
∴P′C的方程為y=-

7

9

x+2，
令y=0，解得：x=

18

7

，
則Q（

18

7

，0）．

點評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：對稱的性質，坐標與圖形性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，靈活運用待定系數(shù)法是解本題的關鍵．