Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，以AB為直徑作半⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說(shuō)明你的理由；

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q坐標(biāo)及最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）C（8，10），M（0，4）；（2）相切；（3），

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)锳BCD為正方形，且邊長(zhǎng)為10，所以易得C點(diǎn)坐標(biāo)；連接PM，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)和半徑求OM可得M點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)CM、PM、PC的長(zhǎng)判定△PCM為直角三角形，得∠PMC=90°，從而判斷相切；

（3）因CM長(zhǎng)度固定，要使△QMC周長(zhǎng)最小，只需PM+PC最�。�作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接CM′，交x軸于Q點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短說(shuō)明存在Q點(diǎn)．

（1）∵A（﹣2，0），B（8，0），

∴AB=10，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BC=AB=10，

∴C（8，10），

連接MP，PC，

在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，

∴OM=4，即M（0，4）；

（2）在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，

∴CP²=125．

在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，

∴CM²=100，

∵100+25=125，

∴在△CMP中，CM²+MP²=CP²，

∴∠CMP=90°．

即：PM⊥CM．

∴CM與⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周長(zhǎng)最小，即要使MQ+QC最小．故作M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)M’，連CM’交x軸于點(diǎn)Q，連MQ，此時(shí)，△QMC周長(zhǎng)最�。�

∵C（8，10），M'（0，﹣4），

設(shè)直線CM'：y=kx+b（k≠0）

∴，解得 

∴．

∴Q（，0）

∵x軸垂直平分MM’，

∴QM=QM'，

∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．

在△CEM'中，CE=8，EM'=14

∴

∴△QMC周長(zhǎng)最小值為．

∴存在符合題意的點(diǎn)Q，且

此時(shí)△QMC周長(zhǎng)最小值為．

考點(diǎn)：本題考查了坐標(biāo)系內(nèi)求點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的判定、利用作圖求最小值

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟記要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短在求三角形周長(zhǎng)最短中的應(yīng)用。