Question

如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)作三個(gè)等邊△ABD、△BEC、△ACF．

（1）判斷四邊形ADEF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？是矩形？

 

Answer 1

【答案】

（1）由題意易得△BDE≌△BAC，則可得DE=AC=AF，同理可證EF=AB=AD，即可證得結(jié)論；（2）AB=AC時(shí)為菱形，∠BAC=150º時(shí)為矩形.

【解析】

試題分析：（1）由題意易得△BDE≌△BAC，則可得DE=AC=AF，同理可證EF=AB=AD，即可證得結(jié)論；

（2）AB=AC時(shí)，可得ADEF的鄰邊相等，所以ADEF為菱形，AEDF要是矩形，則∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°時(shí)為矩形．

解：（1）四邊形ADEF為平行四邊形，

∵△ABD和△EBC都是等邊三角形，

∴BD=AB，BE=BC；

∵∠DBA=∠EBC=60°，

∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA

∴∠DBE=∠ABC；

∴△BDE≌△BAC

∴DE=AC=AF

同理可證：△ECF≌△BCA，

∴EF=AB=AD

∴ADEF為平行四邊形；

（2）AB=AC時(shí)，?ADEF為菱形，當(dāng)∠BAC=150°時(shí)?ADEF為矩形．

理由是：∵AB=AC，

∴AD=AF．

∴?ADEF是菱形．

∴∠DEF=90°

=∠BED+∠BEC+∠CEF

=∠BCA+60°+∠CBA

=180-∠BAC+60°

=240°-∠BAC，

∴∠BAC=150°，

∵∠DAB=∠FAC=60°，

∴∠DAF=90°，

∴平行四邊形ADEF是矩形．

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、矩形、菱形的判定

點(diǎn)評(píng)：特殊四邊形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.