解:(1)在DC上截取DM=BD,連接AM.
在△ABD與△AMD中,
,
∴△ABD≌△AMD(SAS),
∴AB=AM,
∴∠B=∠AMB.
∵∠AMD=∠MAC+∠C,∠B=2∠C,
∴∠C=∠MAC,
∴AM=MC,
∴MC=AB,
則AB+BD=DC;
(2)AB+BD=AC.
方法一:如圖a,在AC上截取AM=AB,連接DM.
在△ABD和△AMD中,
,
∴△ABD≌△AMD(SAS),
∴∠B=∠AMD.
∵∠B=2∠C(已知),∠AMD=∠C+∠MDC(外角定理),
∴∠C=∠MDC(等量代換),
∴DM=MC,則MC=BD,
則AB+BD=AC.
方法二:如圖b,延長AB到M,使BM=BD,連接MD.
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M.
∵∠ABD=2∠C,
∴∠M=∠C.
又∵∠BAD=∠CAD(角平分線的性質(zhì)),
AD=AD(公共邊)
∴△AMD≌△ACD.
∴AM=AC,
∴AB+BD=AC.
分析:(1)作輔助線“在DC上截取DM=BD,連接AM”構(gòu)建全等三角形△ABD≌△AMD,然后由全等三角形的對應(yīng)角相等以及等腰三角形的性質(zhì)證得∠B=∠AMB;再由已知條件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC,所以AM=MC;最后根據(jù)等量代換求得MC=AB,即AB+BD=DC;
(2)假設(shè)結(jié)論AB+BD=AC.方法一:如圖a在AC上截取AM=AB,連接DM.先證△ABD≌△AMD,可得∠B=∠AMD.再證DM=MC,則MC=BD;
方法二:如圖b延長AB到M,使BM=BD,連接MD.∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M.由∠ABD=2∠C,得∠M=∠C.再證△AMD≌△ACD.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).解答該題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建全等三角形來證明結(jié)論的.