Question

如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=6，△ABD的周長(zhǎng)為24．
（1）求△ABC的周長(zhǎng)；
（2）如果AB∥DE，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由DE是AC的垂直平分線，可得AD=CD，又由AE=6，△ABD的周長(zhǎng)為24，可求得AC與AB+BC的長(zhǎng)，繼而求得答案；
（2）由AB∥DE，可得△ABC是直角三角形，然后設(shè)AB=x，由勾股定理可得方程：x²+12²=（24-x）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分線，
∴AD=CD，AE=CE=6，
∴AC=12．
∵△ABD的周長(zhǎng)為24，
∴AB+BD+AC=AB+BD+CD=AB+BC=24，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC=36；

（2）∵AB∥DE，DE⊥AC，
∴AB⊥AC，
設(shè)AB=x，則BC=24-x，
在Rt△ABC中，AB²+AC²=BC²，
∴x²+12²=（24-x）²，
解得：x=9，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=54．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握轉(zhuǎn)化思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．