Question

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長與CE交于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求sin∠EBC．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)△ABC是等邊三角形及CE是∠ACF的平分線可得出∠ACE=∠A=60°，再根據(jù)∠ADB=∠EDC，即可得出△ABD∽△CED；
（2）作DH⊥BC于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)得出∠HDC=30°，由AB=AC=6，AD=2CD可得出CD=2，AD=4，由直角三角形的性質(zhì)可求出DH、HC的長，進(jìn)而得出BH的長，由勾股定理求出BD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∵CE是∠ACF的平分線
∴∠ACE=∠A=60°，
又∵∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△CED；

（2）解：作DH⊥BC于點(diǎn)H，
∵∠ACB=60°，
∴∠HDC=30°
∵AC=6，AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，
∵∠HDC=30°，
∴HC=

1

2

DC=1，DH=

3

，BH=6-1=5，
∴BD=

25+3

=2

7

，
∴sin∠EBC=

DH

BD

=

3

2 7

=

21

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．