Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－2．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的表達(dá)式；
（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）A（－6，0）B（2，0）C（0，8）
（2） （3），
（4）存在

解析試題分析：（1）解方程得，　
∵點(diǎn) B 在x軸的正半軸上， 點(diǎn)C在y軸的正半軸上， 且
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）
又∵拋物線的對(duì)稱軸是直線
∴由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6，0）
（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，得
　解得   
∴所求拋物線的表達(dá)式為
（3）依題意，，則，
∵，，∴
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴　即
∴EF＝
過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則
∴＝　∴FG＝·＝
∴
＝
自變量m的取值范圍是
（4）∵　　且，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，　　
∵，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－2，0）
∴△BCE為等腰三角形．　
考點(diǎn)：函數(shù)圖象與幾何的結(jié)合
點(diǎn)評(píng)：此類題目難度都不小，學(xué)生應(yīng)該多嘗試做此類練習(xí)題，一般來講，都有一定規(guī)律在里面，學(xué)生可以多做，以求舉一反三