(2004•北京)已知:在平面直角坐標系xOy中,過點P(0,2)任作一條與拋物線y=ax2(a>0)交于兩點的直線,設(shè)交點分別為A、B.若∠AOB=90°.
(1)判斷A、B兩點縱坐標的乘積是否為一個確定的值,并說明理由;
(2)確定拋物線y=ax2(a>0)的解析式;
(3)當△AOB的面積為4時,求直線AB的解析式.
【答案】分析:(1)應(yīng)該是一個定值,可先設(shè)出直線AB的解析式,然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出一個關(guān)于x的方程,那么A,B兩點的橫坐標即為這個方程的兩個根,然后可通過韋達定理求出A,B兩點縱坐標積的值;
(2)可通過構(gòu)建相似三角形來求解.作AM⊥x軸于點M,BN⊥x軸于點N,可通過相似三角形AMO和BNO得出關(guān)于AM,OM,BN,ON的比例關(guān)系式,其中,AM,OM分別為A點的縱坐標和橫坐標的絕對值,BN,ON分別為B點縱坐標和橫坐標,由此可仿照(1)通過韋達定理來求出a的值,即可得出拋物線的解析式;
(本題也可通過特殊值來求解,如設(shè)直線AB與x軸平行等)
(3)本題還用通過韋達定理來求解.可將三角形AOB分成兩部分來求其面積.在三角形AOP中,可以O(shè)P為底,A的橫坐標的絕對值為高,來求出三角形AOP的面積,同理可表示出三角形OBP的面積,然后根據(jù)韋達定理和三角形AOB的面積即可求出k的值.也就求出了直線AB的解析式.
解答:解:(1)A、B兩點縱坐標的乘積是一個確定的值,理由如下:
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2,

得ax2-kx-2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2
則x1,x2為方程ax2-kx-2=0的兩個實數(shù)根
∴x1+x2=,x1•x2=-
∴y1•y2=ax12•ax22=a2(x1•x22=a2•(-2=4.
∴A、B兩點縱坐標的乘積為常數(shù)4,是一個確定的值;

(2)解法一:作AM⊥x軸于點M,BN⊥x軸于點N(如圖)
∵∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BON=90°
又∠OBN+∠BON=90°
∴∠AOM=∠OBN
∴Rt△AOM∽Rt△OBN
(注:寫為同樣正確)
∴-=
∴-x1•x2=y1•y2
∴-(-)=4
a=
∴所求拋物線的解析式為y=
解法二:當直線AB平行于x軸時(如圖),
由拋物線的對稱性可知,A、B兩點關(guān)于y軸對稱
∵∠AOB=90°
∴△AOB為等腰直角三角形
∴AP=PB=OP=2
∴B(2,2)
將x=2,y=2代入y=ax2
得a=
∴所求拋物線的解析式為
y=x2;

(3)作AE⊥y軸于點E,BF⊥y軸于點F(如圖)
∴AE=MO,F(xiàn)B=ON
∵S△AOB=S△AOP+S△BOP
=OP•AE+OP•FB
=×2(-x1+x2
=x2-x1
=
=
=
=2
又S△AOB=4
=2
由算術(shù)平方根的概念可得k2=4,k=±2
∴直線AB的解析式為y=2x+2或y=-2x+2.
點評:考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力.
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(2)觀察圖形,在不添加輔助線的情況下,除△EBC外,請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形(直接寫出結(jié)果,不要求證明):______.

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(2004•北京)已知:關(guān)于x的兩個方程
2x2+(m+4)x+m-4=0,①
與mx2+(n-2)x+m-3=0,②
方程①有兩個不相等的負實數(shù)根,方程②有兩個實數(shù)根.
(1)求證方程②的兩根符號相同;
(2)設(shè)方程②的兩根分別為α、β,若α:β=1:2,且n為整數(shù),求m的最小整數(shù)值.

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