Question

（2004•北京）已知：在平面直角坐標系xOy中，過點P（0，2）任作一條與拋物線y=ax²（a＞0）交于兩點的直線，設(shè)交點分別為A、B．若∠AOB=90°．
（1）判斷A、B兩點縱坐標的乘積是否為一個確定的值，并說明理由；
（2）確定拋物線y=ax²（a＞0）的解析式；
（3）當(dāng)△AOB的面積為4時，求直線AB的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)該是一個定值，可先設(shè)出直線AB的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出一個關(guān)于x的方程，那么A，B兩點的橫坐標即為這個方程的兩個根，然后可通過韋達定理求出A，B兩點縱坐標積的值；
（2）可通過構(gòu)建相似三角形來求解．作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N，可通過相似三角形AMO和BNO得出關(guān)于AM，OM，BN，ON的比例關(guān)系式，其中，AM，OM分別為A點的縱坐標和橫坐標的絕對值，BN，ON分別為B點縱坐標和橫坐標，由此可仿照（1）通過韋達定理來求出a的值，即可得出拋物線的解析式；
（本題也可通過特殊值來求解，如設(shè)直線AB與x軸平行等）
（3）本題還用通過韋達定理來求解．可將三角形AOB分成兩部分來求其面積．在三角形AOP中，可以O(shè)P為底，A的橫坐標的絕對值為高，來求出三角形AOP的面積，同理可表示出三角形OBP的面積，然后根據(jù)韋達定理和三角形AOB的面積即可求出k的值．也就求出了直線AB的解析式．
解答：解：（1）A、B兩點縱坐標的乘積是一個確定的值，理由如下：
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2，
由，
得ax²-kx-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂
則x₁，x₂為方程ax²-kx-2=0的兩個實數(shù)根
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=-，
∴y₁•y₂=ax₁²•ax₂²=a²（x₁•x₂）²=a²•（-）²=4．
∴A、B兩點縱坐標的乘積為常數(shù)4，是一個確定的值；

（2）解法一：作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N（如圖）
∵∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BON=90°
又∠OBN+∠BON=90°
∴∠AOM=∠OBN
∴Rt△AOM∽Rt△OBN
∴（注：寫為同樣正確）
∴-=
∴-x₁•x₂=y₁•y₂
∴-（-）=4
a=
∴所求拋物線的解析式為y=．
解法二：當(dāng)直線AB平行于x軸時（如圖），
由拋物線的對稱性可知，A、B兩點關(guān)于y軸對稱
∵∠AOB=90°
∴△AOB為等腰直角三角形
∴AP=PB=OP=2
∴B（2，2）
將x=2，y=2代入y=ax²
得a=
∴所求拋物線的解析式為
y=x²；

（3）作AE⊥y軸于點E，BF⊥y軸于點F（如圖）
∴AE=MO，F(xiàn)B=ON
∵S_△AOB=S_△AOP+S_△BOP
=OP•AE+OP•FB
=×2（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=
=
=
=2
又S_△AOB=4
∴=2
由算術(shù)平方根的概念可得k²=4，k=±2
∴直線AB的解析式為y=2x+2或y=-2x+2．
點評：考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．