Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2 ， 直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一點(diǎn)P．

（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：
過點(diǎn)P作PE∥l1,
∵l1∥l2,
∴PE∥l2∥l1,
∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）解：ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng),且在l1上方時(shí),∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：
過點(diǎn)P作PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC,
∵l1∥l2,PE∥l1
∴PE∥l2
∴∠EPB=∠PBD,
∵∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng),且在l2下方時(shí),∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：
過點(diǎn)P作PE∥l2;
∴∠DBP=∠BPE;
∵l1∥l2,PE∥l2;
∴PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC,
∵∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB,
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下： 過點(diǎn)P作PE∥l1,根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行得出PE∥l2∥l1,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,根據(jù)角的和差及等量代換得出∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng),且在l1上方時(shí),∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下： 過點(diǎn)P作PE∥l1根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出 ∠EPA=∠PAC, 根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行得出 PE∥l2，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠EPB=∠PBD, ,根據(jù)角的和差，及等量代換得出 ∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB, 從而得出結(jié)論∠PBD=∠PAC+∠APB；②當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng),且在l2下方時(shí),∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下： 過點(diǎn)P作PE∥l2; 根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠DBP=∠BPE;根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行得出PE∥l1，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠EPA=∠PAC,根據(jù)角的和差，及等量代換得出∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB,從而得出結(jié)論∠PAC=∠PBD+∠APB．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題．