Question

如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于F，交BC的延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)C作CM⊥CE，交FN于點(diǎn)M，
（1）求證：△ADE≌△CDE；
（2）求證：∠N=∠2；FM=MC=MN；
（3）試問當(dāng)∠1等于多少度時(shí)，△ECN為等腰三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
且BD為對(duì)角線，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB．
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．

（2）證明：由△ADE≌△CDE得∠1=∠2，
由AD∥BC得∠1=∠N，
∴∠2=∠N．
∵∠MCN+∠MCF=∠MCF+∠2=90°，∠2=∠N，
∴∠N=∠MCN，
同理可得出：∠MFC=∠MCF，
∴MC=MF=MN．

（3）解：當(dāng)∠1=30°．
理由：∵CE=CN，
∴∠CEN=∠N=∠1=∠2=x，
在△CEN中，
由內(nèi)角和定理得：x+x+90°+x=180°，
x=30°．
分析：（1）正方形是軸對(duì)稱圖形，本題把直線DB看作對(duì)稱軸，用軸對(duì)稱方法可證：△ADE≌△CDE；
（2）利用（1）及平行線可推出∠N=∠1，利用互余關(guān)系推出∠N=∠MCN，∠MFC=∠MCF，可得MC=MF=MN．
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠1=30°．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算的能力，解答這類題時(shí)一般采取利用圖形的全等的知識(shí)將分散的圖形集中在一起，再結(jié)合圖形的特征選擇相應(yīng)的公式求解．